20xx年天津市和平區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷理科word版含解析-展示頁(yè)
2024-11-27 11:03本頁(yè)面
【正文】 ）對(duì)于 ? x， y∈ R 恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 [﹣ 6， 2] ． 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題． 【分析】 把 y 當(dāng)作常數(shù)，得出關(guān)于 x 的一元二次不等式（ 3﹣ m） x2﹣ my?x+y2≥ 0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解出 m的范圍． 【解答】 解： ∵ 3x2+y2≥ mx（ x+y）恒 成立，即（ 3﹣ m） x2﹣ my?x+y2≥ 0 恒成立， ∴ ， ∴ ，解得﹣ 6≤ m≤ 2． 故答案為 [﹣ 6， 2]． 三、解答題：本大題共 6小題，共 48分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程． 15．已知函數(shù) f（ x） =2 sin（ ax﹣ ） cos（ ax﹣ ） +2cos2（ ax﹣ ）（ a＞ 0），且函數(shù)的最小正周期為 ． （ Ⅰ ）求 a 的值； （ Ⅱ ）求 f（ x）在 [0， ]上的最大值和最小值． 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法． 【分析】 （ Ⅰ ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為 y=Asin（ ωx+φ）的形式，再利用周期公式求 a 的值． （ Ⅱ ） x∈ [0， ]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求，可求 f（ x）最大值和最小值． 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =2 sin（ ax﹣ ） cos（ ax﹣ ） +2cos2（ ax﹣ ）（ a＞ 0）， 化簡(jiǎn)可得： f（ x） = sin（ 2ax﹣ ） +cos（ 2ax﹣ ） +1 = cos2ax+sin2ax+1 =2sin（ 2ax+ ） +1 ∵ 函數(shù)的最小正周期為 ．即 T= 由 T= ，可得 a=2． ∴ a 的值為 2． 故 f（ x） =2sin（ 4x+ ） +1； （ Ⅱ ） x∈ [0， ]時(shí)， 4x+ ∈ [0， ]． 當(dāng) 4x+ = 時(shí)，函數(shù) f（ x）取得最小值為 =1 ． 當(dāng) 4x+ = 時(shí)，函數(shù) f（ x）取得最大值為 2 1+1=3 ∴ f（ x）在 [0， ]上的最大值為 3，最小值為 1 ． 16．理科競(jìng)賽小組有 9 名女生、 12 名男生，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 7 的樣本進(jìn)行分析． （ Ⅰ ）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可） （ Ⅱ ）如果隨機(jī)抽取的 7 名同學(xué)的物理、化學(xué)成績(jī)（單位：分）對(duì)應(yīng)如表： 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 物理成績(jī) 65 70 75 81 85 87 93 化學(xué)成績(jī) 72 68 80 85 90 86 91 規(guī)定 85 分以上（包括 85 份）為優(yōu)秀，從這 7 名同學(xué)中再抽取 3 名同學(xué)，記這 3名同學(xué)中物理和化學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為 X，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ Ⅰ ）如果按照性別比例分層抽樣，則從 9 名女生、 12 名男生，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 7 的樣本，抽取的女生為 3 人，男生為 4 人．利用組合數(shù)的意義即可得出． （ II）這 7 名同 學(xué)中物理和化學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為 3 人，抽取的 3 名同學(xué)中物理和化學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù) X 可能取值為 0， 1， 2， 3，可得 P（ X=k） = ，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式． 【解答】 解：（ Ⅰ ）如果按照性別比例分層抽樣，則從 9 名女生、 12 名男生， 從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 7 的樣本，抽取的女生為 3 人，男生為 4 人．可以得到個(gè)不同的樣本． （ II）這 7 名同學(xué)中物理和化學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為 3 人， 抽取的 3 名同學(xué)中物理和化學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù) X 可能取值為 0， 1， 2， 3， 則 P（ X=k） = ，可得 P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = ． 其 X 分布列為： X 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望 E（ X） =0+1 +2 +3 = ． 17．如圖，四棱錐 P﹣ ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD， AB∥ DC， DA⊥ AB， AB=AP=2，DA=DC=1， E 為 PC 上一點(diǎn)，且 PE= PC． （ Ⅰ ）求 PE 的長(zhǎng)； （ Ⅱ ）求證： AE⊥ 平面 PBC； （ Ⅲ ）求二面角 B﹣ AE﹣ D 的度數(shù)． 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）利用勾股定理求出 AC 長(zhǎng)，從而得到 PC 長(zhǎng)，由此能求出 PE． （ Ⅱ ）以 A 為原點(diǎn)， AB 為 x 軸， AD 為 y 軸， AP 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明 AE⊥ 平面 PBC． （ Ⅲ ）求出平面 ABE 的法向量和平面 ADE 的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣ AE﹣ D 的度數(shù)． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 四棱錐 P﹣ ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD， AB∥ DC， DA⊥AB， AB=AP=2， DA=DC=1， E 為 PC 上一點(diǎn)， 且 PE= PC， ∴ AC= = ， ∴ PC= = = ， ∴ PE= PC= ． 證明：（ Ⅱ ）以 A 為原點(diǎn)， AB 為 x 軸， AD 為 y 軸， AP 為 z 軸，建立 空間直角 坐標(biāo)系， 則 A（ 0， 0， 0）， C（ 1， 1， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ ）
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