20xx年天津市和平區(qū)高考數(shù)學一模試卷理科word版含解析(參考版)
2024-11-19 11:03本頁面
【正文】 ）． 20．設函數(shù) f（ x） = x2+alnx（ a＜ 0）． （ 1）若函數(shù) f（ x）的圖象在點（ 2， f（ 2））處的切線斜率為 ，求實數(shù) a 的值； （ 2）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）設 g（ x） =x2﹣（ 1﹣ a） x，當 a≤ ﹣ 1 時，討論 f（ x）與 g（ x）圖象交點的個數(shù)． 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的導數(shù)，由題意可得切線的斜率，即有 a 的方程，解方程可得 a 的值； （ 2）求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)大于 0，可得增區(qū)間； 導數(shù)小于 0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域； （ 3）令 F（ x） =f（ x）﹣ g（ x），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) F（ x）的零點個數(shù)，通過討論 a 的范圍，求出函數(shù) F（ x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù) F（ x）的零點個數(shù)即 f（ x）， g（ x）的交點即可 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x） = x2+alnx 的導數(shù)為 f′（ x） =x+ ， 由函數(shù) f（ x）的圖象在點（ 2， f（ 2））處的切線斜率為 ， 可得 2+ = ，解得 a=﹣ 3； （ 2）函數(shù) f（ x）的定義域為（ 0， +∞ ）， f′（ x） = ， 當 a＜ 0 時， f′（ x） = ， 當 0＜ x＜ 時， f′（ x） ＜ 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減； 當 x＞ 時， f′（ x） ＞ 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增． 綜上，當 a＜ 0 時， f（ x）的增區(qū)間是（ ， +∞ ），減區(qū)間是（ 0， ）； （ 3）令 F（ x） =f（ x）﹣ g（ x） = x2+alnx﹣ x2+（ 1﹣ a） x =﹣ x2+（ 1﹣ a） x+alnx， x＞ 0， 問題等價于求函數(shù) F（ x）的零點個數(shù)． 當 a≤ ﹣ 1 時， F′（ x） =﹣ x+1﹣ a+ =﹣ ， 由 a=﹣ 1 時， F′（ x） ≤ 0， F（ x）遞減， 由 F（ 3） =﹣ +6﹣ ln3= ﹣ ln3＞ 0， F（ 4） =﹣ 8+8﹣ ln4＜ 0， 由零點存在定理可得 F（ x）在（ 3， 4）內(nèi)存在一個零點； 當 a＜ ﹣ 1 時，即﹣ a＞ 1 時， F（ x）在（ 0， 1）遞減，（ 1，﹣ a）遞增，（﹣ a， +∞ ）遞減， 由極小值 F（ 1） =﹣ +（ 1﹣ a） +aln1= ﹣ a＞ 0， 極大值 F（﹣ a） =﹣ a2+a2﹣ a+aln（﹣ a） = a2﹣ a+aln（﹣ a） ＞ 0， 由 x→ +∞ 時， F（ x） → ﹣ ∞ ， 可得 F（ x）存在一個零點． 綜上可得，當 a≤ ﹣ 1 時， f（ x）與 g（ x）圖象交點的個數(shù)為 1． 2017 年 4 月 2 日 。． 18．設 Sn 是數(shù)列 {an}的前 n 項和，已知 a1=1， an+1=2Sn+1（ n∈ N*）． （ Ⅰ ）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ Ⅱ ）若 =3n﹣ 1，求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Tn． 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ I）由條件得 an=2Sn﹣ 1+1（ n≥ 2），與條件式相減可得 =3，再驗證即可得 {an}為等比數(shù)列，從而求出通項公式； （ II）化簡得 bn=（ 3n﹣ 1） ?3n﹣ 1，使用錯 位相減法求和即可． 【解答】 解：（ I） ∵ an+1=2Sn+1， ∴ an=2Sn﹣ 1+1，（ n≥ 2）， 兩式相減得： an+1﹣ an=2an，即 =3． 又 n=1 時， a2=2a1+1=3， ∴ ， ∴ {an}是以 1 為首項，以 3 為公比的等比數(shù)列． ∴ an=3n﹣ 1． （ II） bn=（ 3n﹣ 1） an=（ 3n﹣ 1） ?3n﹣ 1， ∴ Tn=2?30+5?31+8?32+… +（ 3n﹣ 1） ?3n﹣ 1， ① ∴ 3Tn=2?31+5?32+8?33+… +（ 3n﹣ 1） ?3n， ② ∴ ﹣ 2Tn=2+32+33+34+… +3n﹣（ 3n﹣ 1） ?3n = ﹣ 1﹣（ 3n﹣ 1） ?3n=（ ） ?3n﹣ ， ∴ Tn=（ ﹣ ） ?3n+ ． 19．已知橢圓 E： + =1（ a＞ b＞ 0）經(jīng)過點（ 2 ， 1），且以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等邊三角形． （ Ⅰ ）求橢圓 E 的方程； （ Ⅱ ）設 P（ x， y）是橢圓 E 上的動點， M（ 2， 0）為一定點，求 |PM|的最小值及取得最小值時 P 點的坐標． 【考點】 直線與橢圓的位置關系． 【分析】 （ Ⅰ ）由題意求得 2b=a，將點（ 2 ， 1），代入橢圓方程，即可求得 a和 b 的值，求得橢圓方程； （ Ⅱ ）利用兩點之間的距離公式， 求得丨 PM 丨 2=（ x﹣ 2） 2+y2，由 P 在橢圓上，則 y2=4﹣ ，代入利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得 |PM|的最小值及 P 點坐標． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意可知： 2b=a， 將（ 2 ， 1）代入橢圓方程： ， 解得： b2=4， a2=16， ∴ 橢圓 E 的方程 ； （ Ⅱ ）由丨 PM 丨 2=（ x﹣ 2） 2+y2，由 P（ x， y）在橢圓上，（﹣ 4≤ x≤ 4）則 y2=4﹣ ， ∴ 丨 PM 丨 2=x2﹣ 4x+4+4﹣ = x﹣ 4x+8= （ x+ ） + ， ∴
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