天津市河?xùn)|區(qū)20xx年高考數(shù)學(xué)一模試卷文科(參考版)
2025-06-10 18:04本頁面
【正文】 。∴四邊形BCDE為矩形，∴EC=2，HB=，又∵MH=PE=，∴△MHB中，tan=，∴直線BM與平面ABCD所成角的正切值為．（3）由（2）知CD∥BE，∴直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角連接ME，Rt△MHE中，Rt△MHB中，又，∴△MEB中，∴直線BM與CD所成角的余弦值為．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值和線線角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 18．已知橢圓C：的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．①若線段AB中點的橫坐標(biāo)為，求斜率k的值；②已知點，求證：為定值．【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關(guān)系，建立等式，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及線段AB中點的橫坐標(biāo)為，即可求斜率k的值；②利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積公式，計算即可證得結(jié)論．【解答】（1）解：因為滿足a2=b2+c2，…根據(jù)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，可得．從而可解得，所以橢圓方程為…（2）證明：①將y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因為AB中點的橫坐標(biāo)為，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運算能力，綜合性強． 19．已知函數(shù)f（x）=，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（），n∈N*，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1，求Tn；（3）令bn= （n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜對一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過代入函數(shù)解析式化簡可知an+1=an+，進而計算可得結(jié)論；（2）通過（1）可知Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），進而計算可得結(jié)論；（3）當(dāng)n≥2時裂項可知bn=（﹣），進而并項相加可知Sn=，從而可知＜，進而問題轉(zhuǎn)化為解不等式≥，計算即得結(jié)論．【解答】解：（1）依題意，an+1==an+，∴數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，又∵a1=1，∴an=n+；（2）由（1）可知Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣?=﹣（2n2+3n）；（3）當(dāng)n≥2時，bn===（﹣），又∵b1=3=（1﹣）滿足上式，∴Sn=b1+b2+…+bn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵Sn＜對一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）遞增，且＜，∴≥，即m≥2016，∴最小正整數(shù)m=2016．【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 20．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）當(dāng)a=﹣1時，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）兩點，且AB的中點為C（x0，0），求證：f′（x0）＜0．【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】計算題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（I）將f（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根據(jù)基本不等式可求出；（II）根據(jù)f（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）兩點，得到，兩式相減，可得，利用中點坐標(biāo)公式和導(dǎo)數(shù)，即可證明結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x2﹣bx∵f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′（x）=+2x﹣b≥0對x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x對x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤∵x＞0，∴ +2x≥2當(dāng)且僅當(dāng)x=時取“=”，∴b≤2，∴b的取值范圍為（﹣∞，2]；（II）證明：由已知得，即，兩式相減，得： ?，由f′（x）=﹣2ax﹣b及2x0=x1+x2，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b===，令t=∈（0，1），且φ（t）=，∵φ′（t）=，∴φ（t）是（0，1）上的減函數(shù)，∴φ（t）＞φ（1）=0，又x1＜x2，∴f39?？傻?，在Rt△PED中，有．【點評】本題考點是與圓有關(guān)的比例線段，本題考查求線段的長度，平面幾何中求線段長度一般在三角形中用正弦定理與余弦定理求解，本題中法一的特征用的是余弦定理求長度，法二在直角三角形中用勾股定理求長度，在三角形中求長度時應(yīng)該根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，做題后要注意總結(jié)方法選取的規(guī)律． 13．若實數(shù)a，b，c滿足2a+2b=2a
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