【正文】 0 t 0 ) ( ? t f 0 t ? ? ? 0 ) ( dt e t f st 為有限值 積分下線 0 后面討論中寫成 0 ?? ? 0 )()( dtetfsF st拉氏 正變換 例 用定義求 f(t)象函數(shù)。第 7章 電路的拉普拉斯變換分析法 拉普拉斯變換的定義 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯反變換 復(fù)頻域電路 電路的拉普拉斯變換分析法 拉普拉斯變換的定義 ?拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解 常系數(shù)線性微分方程 的 工具 。 設(shè)一個(gè)變量 t的函數(shù) f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿足這一條件） 拉氏 正變換 Sj????f(t)： 原函數(shù) ； F(S)： f(t)的 象函數(shù) 。其中 a為實(shí)數(shù)，且 a0。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導(dǎo)出。它和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。 （ 2） 對(duì)于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些超越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)通過(guò)這些基本性質(zhì)可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。 線性特性 若 f1(t) F1(s) L f2(t) L F2(s) 則 ) ( ) ( 2 2 1 1 t f a t f a ? L ) ( ) ( 2 2 1 1 s F a s F a ? a1， a2為任意常數(shù) 證明 求函數(shù)的象函數(shù) ? ?1 1 2 2 1 1 2 20 0 0( ) ( ) ( ) ( )s t s t s ta f t a f t e d t a f t e d t a f t e d t ? ? ? ? ? ?? ? ?)()( 2211 sFasFa ??例 tata beetf 21)( ??解 211][)]([ 21asbasbeeLtfLtata???? 尺度變換 若 f (t) F (s) L 則 f1(at) L )(1 asFaa為大于零的實(shí)數(shù) 證明 ?? ? ? ?? 00 )()()]([ adateatfdteatfatfL atasst令 x=at )(1)(1)]([ 0 asFadxexfaatfL xas?? ? ? 時(shí)間變換 若 f (t) F (s) L )( 0ttf L 0)( stesF )( 0ttf 0 t f ( t ) 0 t t 0 f ( t t 0 ) )()( 00 ttttf ?證明 ?? ? ? ?? 0 )()()}({ 00 00 t stst dtettfdtettfttfL令 0ttx ? 0txt ?? dxdt ? t0 為常數(shù) 則 00 )()()}({00ststsx esFdxeexfttfL ? ?? ?例 解 求圖中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換 0 t f ( t ) E T t 0 t fa (t) 0 t T fc (t) 0 E T f b ( t) = + + ? ? ? ? ? ? ? ?a b cf t f t f t f t? ? ?? ? ? ?a Ef t t tT ??? ? ? ?bf t E t T?? ? ? ? ? ? ?c Ef t t T t TT ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?22asTbsTcEL f tTsEL f t esEL f t eTs???由線性性質(zhì) ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?22211a b cs T s TstL f t L f t L f t L f tE E EeeT s s T sET s eTs? ? ?? ??? ???時(shí)間平移特性還可以 用來(lái)求取有始周期函數(shù) (t≥0時(shí)呈現(xiàn)周期性的函數(shù) ,在 t＜ 0范圍函數(shù)值為零 )的拉普拉斯變換 f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為 T， f 1(t)、 f 2(t) … 分別表示函數(shù)的第一周期，第二周期， … 的函數(shù) ， ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3f t f t f t f t? ? ? ?由于是周期函數(shù)，因此 f 2(t)可看成是 f 1(t)延時(shí)一個(gè)周期構(gòu)成的， f 3(t)可看成是 f 1(t)延時(shí)二個(gè)周期構(gòu)成的，依此類推則有 ? ? ? ? ? ? ? ? ????? TtfTtftftf 2111根據(jù)平移特性，若 ? ?? ? ? ?11L f t F s?則 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?21 1 12 11 1 1s T s Ts T s TsTL f t F s F s e F s eFsF s e ee? ? ? ???? ? ? ? ???f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為 T， 拉普拉斯變換等于第一周期單個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以周期因子 11 sTe例 求圖中半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換 0 t E T 2 3 T 2 5 T 2 T 2 T f (t) 解 先求第一個(gè)半波 f 1(t)的拉普拉斯變換 0 t E f 1(t) 3 T 2 T 2 T 0 t E T 2 f 1b(t) || 3 T 2 T 2 T 0 t E T 2 f 1a(t) + ? ? ? ? ? ?? ?1 1 1s i n s i n22abf t f t f tTTE t t E t t? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?有始正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為 ? ?? ? 22s i nL t t s ??? ?? ?故根據(jù)時(shí)間平移特性可得 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 1222 2 2 2 2 2 1abs T s TL f t L f t L f tE E Eees s s? ? ?? ? ?????? ? ? ???? ? ? ??半波正弦周期函數(shù)的拉普拉斯變換為 ? ?? ?22 2 2 22111 1sTsTsTE e EL f ts e s e?? ???? ? 頻率平移特性 若 f (t) F (s) L 則 )(})({ 00 ssFetfL ts ?證明 )()()(})({ 00 )(0 000 ssFdtetfdteetfetfL tsssttsts ??? ?? ? ? 時(shí)域微分特性 )(39。[ dtedt tdfdt tdfLtfL st由上式應(yīng)用分部積分法，有 ? ? ?? 0 )(])([)](39。[? fssFtfL應(yīng)用上式的結(jié)果可得 )0()0()()0()]([)]([)]([ 2 ????????? fsfsFsftfsLtfdtdLtfL依此類推，可得 )0()0()0()()]([ )1(21)( ?? nnnnn ffsfssFstfL ?如果 f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初值為零。[ ssFtfL ?)()]([ 2 sFstfL ???)()]([ )( sFstfL nn ????? 例 解 若電容元件 C的端電壓 uC(t)的拉氏變換式為 UC(s) 求電容 C中電流的象函數(shù) IC(s)。 則有 拉普拉斯反變換 利用拉普拉斯變換法對(duì)電路進(jìn)行暫態(tài)分析，最終結(jié)果必須返回時(shí)域，就是說(shuō)還要進(jìn)行拉普拉斯反變換。因此，下面介紹一種基本的方法， 部分分式法 。 如 m≥n時(shí)，可以將假分式可分解為多項(xiàng)式與真分式之和。 為了分解 F(s)為部分分式，只需討論 D(s)=0的根。 Ak 如何確定？ n