空間向量及立體幾何練習(xí)試題和答案解析-展示頁
2024-08-07 04:50本頁面
【正文】 角為θ，求出|cosθ|．則二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，則EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，則EF⊥BD，∴EF⊥DH，則EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，則DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，則D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），設(shè)平面ABD′的一個(gè)法向量為，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，則|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值為sinθ=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用平面的法向量求解二面角問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AAA1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）證明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【分析】（I）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，DF，DE．計(jì)算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三線合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，從而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面CEF的法向量，則直線AC1與平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】證明：（I）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB．∵側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，AB，EF為相交直線，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD?ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F(xiàn)（，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，2）．設(shè)平面CEF的法向量為=（x，y，z），則，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴sin＜＞==．∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題． 7．如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求證：AB⊥PC；（2）在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45176。．（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90176。．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了線面角的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題． 4．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90176。=12，∴，因此△EMC為等邊三角形，故所求的角為60176?！嗨倪呅蜝ECH為菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，則EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC為所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120176。因此∠CBP=30176。求得∠CBP=30176。．∴以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），則，設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為，由，得，取z=2，得．由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為，則正弦值為；（Ⅲ）解：設(shè)AH=t，則H（0，0，t），．∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時(shí)線段AH的長為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考查計(jì)算能力，是中檔題． 3．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120176。．點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求證：MN∥平
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