空間向量及立體幾何練習試題和答案解析(已改無錯字)
2022-08-20 04:50:31 本頁面
【正文】 Ⅱ）以O為坐標原點，分別以OD，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，設直線GD與平面ABC所成角α，利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角的正弦值即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）∵ABB1A1為矩形，AB=2，D是AA1的中點，∴∠BAD=90176。，，從而，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）∴，∴，從而AB1⊥BD…（4分）∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）（Ⅱ）如圖，以O為坐標原點，分別以OD，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，從而又，∴，，∴，∵G為△AB1C的重心，∴，…（8分）設平面ABC的法向量為，由可得，令y=1，則z=﹣1，所以．…（10分）設直線GD與平面ABC所成角α，則=，所以直線GD與平面ABC所成角的正弦值為…（12分）【點評】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力． 10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，將△ABD沿BD折起，使得點A折起至A′，設二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ．（1）當θ=90176。時，求A′C的長；（2）當cosθ=時，求BC與平面A′BD所成角的正弦值．【分析】（1）過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定理及余弦定理計算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2）利用余弦定理可得A′F=，從而得出A′F⊥平面ABCD，以F為原點建立坐標系，求出和平面A′BD的法向量，則BC與平面A′BD所成角的正弦值為|cos＜＞|．【解答】解：（1）在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE．∵AB=4，AD=2，∴BD==10．∴，BE==8，cos∠CBE==．在△BCE中，由余弦定理得CE==2．∵θ=90176。，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|==2．（2）DE==2．∵tan∠FDE=，∴EF=1，DF==．當即cos∠A′EF=時，．∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A39。FE=90176。又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A39。EF，∴BD⊥A39。F∴A39。F⊥平面ABCD．以F為原點，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA′為z軸建立空間直角坐標系如圖所示：∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）．∴=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）．設平面A′BD的法向量為=（x，y，z），則，∴，令z=1得=（﹣，2，1）．∴cos＜＞===．∴BC與平面A39。BD所成角的正弦值為．【點評】本題考查了空間角與空間距離的計算，空間向量的應用，屬于中檔題． 11．如圖，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱錐D﹣BB1C1C構成的幾何體中，∠BAC=90176。，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求證：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M為DC1的中點，求證：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在線段BC上是否存在點P，使直線DP與平面BB1D所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【分析】（Ⅰ）證明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可證明AC⊥DC1．（Ⅱ）易得∠BAC=90176。，建立空間直角坐標系A﹣xyz，依據(jù)已知條件可得A（0，0，0），，B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）利用向量求解【解答】解：（Ⅰ）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90176。，所以，如圖建立空間直角坐標系A﹣xyz，依據(jù)已知條件可得A（0，0，0），，B（0，0，1），B1（2，0，1），所以，設平面DBB1的法向量為，由即令y=1，則，x=0，于是，因為M為DC1中點，所以，所以，由，可得，所以AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量為．設，λ∈[0，1]，則，．若直線DP與平面DBB1成角為，則，解得，故不存在這樣的點．【點評】本題考查了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角．屬于中檔題 12．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD（ I）證明：AE⊥CD（ II）在棱ED上是否存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．【分析】（I）利用面面垂直的性質得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；（II）取AD的中點O，連接EO，以O為原點建立坐標系，設，求出平面BDEF的法向量，令|cos＜＞|=，根據(jù)方程的解得出結論．【解答】（I）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面AED，∵A
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