空間向量及立體幾何練習試題和答案解析(參考版)
2024-08-03 04:50本頁面
【正文】 ∴OC⊥AB…②又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，又PC?面POC，∴AB⊥PC．…（6分）（Ⅱ）∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，∴．如圖建立空間坐標系，設(shè)面PBC的法向量為，由，令，得；，．，設(shè)DE與面PBC所成角為θ，∴直線DE與平面PBC所成角的正弦值．…（12分）【點評】本題考查了空間線線垂直的判定，向量法求線面角，屬于中檔題． 15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別在線段AAl，A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF，M為AB中點（ I）證明：EF⊥平面CME；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推導出Rt△EAM∽Rt△FA1E，從而EF⊥ME，又EF⊥CE，由此能證明EF⊥平面CEM．（Ⅱ）設(shè)線段A1B1中點為N，連結(jié)MN，推導出MC，MA，MN兩兩垂直，建空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）在正方形ABB1A1中，A1E=，AM=1，在Rt△EAM和Rt△FA1E中，又∠EAM=∠FA1E=，∴Rt△EAM∽Rt△FA1E，∴∠AEM=∠A1FE，∴EF⊥EM，又EF⊥CE，ME∩CE=E，∴EF⊥平面CEM．解：（Ⅱ）在等腰三角形△CAB中，∵CA⊥CB，AB=2，∴CA=CB=，且CM=1，設(shè)線段A1B1中點為N，連結(jié)MN，由（Ⅰ）可證CM⊥平面ABB1A1，∴MC，MA，MN兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C（1，0，0），E（0，1，），F(xiàn)（0，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），=（﹣1，1，），=（0，﹣，），=（1，﹣1，2），設(shè)平面CEF的法向量為=（x，y，z），則，取z=2，得=（5，4，2），設(shè)直線AC1與平面CEF所成角為θ，則sinθ==，∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 專業(yè)知識分享 。點E是線段PA上靠近點A的三等分點．（Ⅰ）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是邊長為2的等邊三角形，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）作PO⊥AB于O，連接OC，可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC，∠ABC=45176。．而∠BAC=60176。PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）設(shè)點E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB；（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由．【分析】（1）取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；（2）建立坐標系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60176。所以，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，依據(jù)已知條件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），所以，設(shè)平面DBB1的法向量為，由即令y=1，則，x=0，于是，因為M為DC1中點，所以，所以，由，可得，所以AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量為．設(shè)，λ∈[0，1]，則，．若直線DP與平面DBB1成角為，則，解得，故不存在這樣的點．【點評】本題考查了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角．屬于中檔題 12．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD（ I）證明：AE⊥CD（ II）在棱ED上是否存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．【分析】（I）利用面面垂直的性質(zhì)得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；（II）取AD的中點O，連接EO，以O(shè)為原點建立坐標系，設(shè)，求出平面BDEF的法向量，令|cos＜＞|=，根據(jù)方程的解得出結(jié)論．【解答】（I）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．（II）解：取AD的中點O，過O作ON∥AB交BC于N，連接EO，∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，∴OE⊥平面ABCD，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖所示：設(shè)正方形ACD的邊長為2，則A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），E（0，0，1），M（﹣λ，0，1﹣λ）∴=（﹣λ﹣1，0，1﹣λ），=（1，0，1），=（2，2，0），設(shè)平面BDEF的法向量為=（x，y，z），則，即，令x=1得=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，令||=，解得λ=0，∴當M與點E重合時，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為．【點評】本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題． 13．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90176
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