齊次線性方程組有非零解的條件-展示頁(yè)
2024-08-01 13:23本頁(yè)面
【正文】 一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 .例例 1 設(shè)設(shè) 線性相關(guān)線性相關(guān) ，求向量組求向量組 的的 秩秩 解：易證兩解：易證兩 向量組向量組 等價(jià)，所以等價(jià)，所以例例 2 若若 ，且，且 可由可由 線性表出，線性表出， 則則 與與 等價(jià)。定理定理 ：： 若若 向量組向量組 可由可由 向量向量 組組 線性表出，線性表出，則 必線性相關(guān)。線性無(wú)關(guān)。線性表出，且表示唯一。也線性無(wú)關(guān)。若向量組線性無(wú)關(guān)，則部分向量構(gòu)成的向量組也線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)。為零向量。向量組等價(jià)的性質(zhì)：向量組等價(jià)的性質(zhì)： （（ ?）反身性）反身性 （（ ??）對(duì)稱性）對(duì)稱性 （（ ??? ）傳遞性）傳遞性 向量組向量組 (?) 能由能由 向量組向量組 (??) 線性表示線性表示 :若向量組若向量組 （（ ?）） 的任意向量量都能由向量組的任意向量量都能由向量組 （（ ??）線性）線性 表示表示 。 n維向量與線性方程組主要內(nèi)容： （ 1）向量的線性相關(guān)性 （ 2）向量組的最大無(wú)關(guān)組與秩 （ 3）線性方程組解的結(jié)構(gòu)與通解定義：定義： n維行向量 (或 行陣 )： n維 列向量列向量 (或 列矩陣列矩陣 ):常用的記號(hào)是希臘字母常用的記號(hào)是希臘字母如果向量的元素如果向量的元素 在復(fù)數(shù)域上在復(fù)數(shù)域上 ，全體，全體 n維向量記為維向量記為如果向量的元素在實(shí)數(shù)域上，全體如果向量的元素在實(shí)數(shù)域上，全體 n維向量記為維向量記為 n 維向量的概念維向量的概念? = ? ? ai = bi? = (0, 0, …,0)n維向量的線性運(yùn)算維向量的線性運(yùn)算 : ? = (a1, a2, …, an), ? =(b1, b2, …, bn)， 加法：加法： ? + ? = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), 數(shù)乘：數(shù)乘： k ? ? =(ka1, ka2, …, kan ), k ?R. 向量相等向量相等 ：： ? = (a1, a2, …, an), ? =(b1, b2, …, bn)零向量零向量 ：：負(fù)向量負(fù)向量 : ?=(a1,a2,…… ,an )向量的運(yùn)算向量空間： n維向量的全體及加法，數(shù)乘 性質(zhì)線性組合、線性方程組的向量形式定義定義注：注： 零向量零向量 可以由可以由 任意任意 向量向量 線性表出線性表出使得使得是是稱稱 的線性組合的線性組合或或 能由能由 線性表示線性表示 （（ 表出表出 ）） 線性組合 的全體 .注：注：例例n維單位向量維單位向量注： 可由 線性表出。向量的線性表示與線性方程組的關(guān)系結(jié)論：線性方程組有解線性方程組有解 ?b 能由系數(shù)矩陣的列向量線性表出能由系數(shù)矩陣的列向量線性表出即即例 將 ? = (1,0,4)T 用 ?1 =(0,1,1)T, ?2 =(1,0,1)T,?3 =(1,1,0)T 線性表出 .解例例 下述向量下述向量 中哪個(gè)中哪個(gè) 不能由其余的向量線性表示不能由其余的向量線性表示向量組之間的關(guān)系向量組之間的關(guān)系向量組線性表示的定義：向量組線性表示的定義：稱向量組稱向量組 (?) 與向量組與向量組 (??) 等價(jià)等價(jià)若向量組若向量組 （（ ?）） 的任意向量都能由向量組的任意向量都能由向量組 （（ ??）） 線性線性 表示表示 ，同時(shí)向量組（同時(shí)向量組（ ??）的任意向量）的任意向量 也也 都能由向量組都能由向量組 （（ ?）） 線性線性 表示表示 。向量組等價(jià)的定義：向量組等價(jià)的定義：加推論 1,2,3向量的線性表示向量的線性表示 與與 向量組之間線性表示向量組之間線性表示 的矩陣方法的矩陣方法矩陣方法矩陣方法能由向量組能由向量組 線性表示，即線性表示，即向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 性性定義 I 等價(jià)定義 II則稱此向量組則稱此向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) ，否則稱為，否則稱為 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)對(duì)向量組對(duì)向量組 若存在一組不全為零的數(shù)若存在一組不全為零的數(shù)使得若向量組若向量組 中存在一個(gè)向量能由其它中存在一個(gè)向量能由其它向量線性表出，則稱此向量組向量線性表出，則稱此向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) ，否則稱為否則稱為 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)注： 單個(gè)向量、單個(gè)向量 α構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是該向量該向量 α為零向量。注： 向量組含有零向量必線性相關(guān)、向量組含有零向量必線性相關(guān)注：注： 兩個(gè)向量組成的、兩個(gè)向量組成的 向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān)? 向量的各分量向量的各分量對(duì)應(yīng)成比例對(duì)應(yīng)成比例注：注： 從幾何角度解釋：兩個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這、從幾何角度解釋：兩個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這兩個(gè)相向量在空間共線，兩個(gè)相向量在空間共線，
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