常系數(shù)線性方程組基解矩陣的計算-展示頁
2025-07-02 07:32本頁面
【正文】 里得空間的一個維子空間并且n維歐幾里得空間可表示成的直和，由此對于n維歐幾里得空間的每一個向量，存在唯一組向量其中使得分解式為 （）因此，一方面 對于★的初始值，應(yīng)用式（）知存在有注意到空間的構(gòu)造，即知是式（）的解，即有因而有 （）另一方面，為對角矩陣，因此由例1知 故有計算==所以方程組★滿足初始條件的解為= （）同時注意到其中即在上面初始條件中分別令應(yīng)用式（）求得n個解，然后以這n個解作為列即得.注4：當(dāng)A只有一個特征值時，即為n重的， （）注5：式（）表明方程組的任一解都可以經(jīng)過有限次代數(shù)運算求出.例5：若A是例2中的矩陣，求初值問題的解和.解：本題用兩種方法計算和方法一：易知是A的二重特征值，此時，A只有一個特征值，根據(jù)式（）計算有=和特解=（）.方法二：是A的二重特征值，這時只有一個子空間，=不需要分解，根據(jù)式（）有=.分別取代入上式中的中，則所以 和特解=.例6：考慮方程組，其中試求滿足初始條件的解，并求.解：A的特征方程為分別為重特征根，為了確定的子空間 由式（） 首先考慮齊次線性代數(shù)方程組 解得，其中為任意常數(shù). 因此是由構(gòu)成的一維子空間，其次考慮齊次線性方程組解得 .下面對初值進行分解，有 即于是 根據(jù)式（） 有=最后為了得到，依次分別令代入上式得到3個線性無關(guān)解 于是2：“哈密頓凱萊”法：設(shè)A是方程組★的實系數(shù)矩陣，是A的特征多項式， 特征方程為A的=0 （）方程（）的根是矩陣A的特征多項式，且有哈密頓凱萊定理：設(shè)是矩陣A的特征多項式，則亦即定理：設(shè)是矩陣A 的n個特征值（它們不一定不相等）則 （）其中 并有是初值問題 （）的解.推論：若A只有一個特征值，則上述定理將計算的問題轉(zhuǎn)化為求方程組（）滿足初始條件的解的問題，由于方程組（）是一個特殊的一階常系數(shù)齊次線性方程組，（）就可以直接求出方程組★的基解矩陣.例7：求常系數(shù)齊次線性方程組，其中的解.解
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1