齊次線性方程組有非零解的條件(參考版)
2024-07-28 13:23本頁面
【正文】 再證非其次線性方程組再證非其次線性方程組 任意任意 解向量解向量 η的表示的表示因為因為 ηη*是齊次線性方程組的解向量是齊次線性方程組的解向量 ,是其對應(yīng)齊次線性方程組是其對應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0的一個的一個 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系那么有那么有即即其中其中即。這是非齊次線性方程組的任意解向量的這是非齊次線性方程組的任意解向量的 另一種另一種 表示方式。假定。我們記線性方程組我們記線性方程組 (1)(2)的系數(shù)矩陣分別為的系數(shù)矩陣分別為 A， B， 由于由于為（為（ 1）的一個基礎(chǔ)解系，）的一個基礎(chǔ)解系， 則矩陣則矩陣 A， B的秩都為的秩都為 n，并且并且 從而從而從而從而 A的的 n個行向量的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成了（個行向量的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成了（ 2）的一個基礎(chǔ)解系，）的一個基礎(chǔ)解系，于是（于是（ 2）的通解為）的通解為 其中可 k1， k2， … kn為任意實數(shù)。的通解，并說明理由。AX=0因此因此這說明這說明 凡是凡是 A?AX=0的解必為的解必為 AX=0的解的解 。證明：證明：另一方面，若另一方面，若則則故故 A?AX=0與與 AX=0的同解。）。 2）當(dāng)）當(dāng) a=1， R（（ A）） =2。 (ii)若若 b=－－ 1， R(B)=2=R(A)，這時方程組有，這時方程組有 無窮多個解。對其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換對其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換 并求其唯一解和通解。求解線性方程組求解線性方程組解解 對增廣矩陣對增廣矩陣 B作初等行變換：作初等行變換：可見可見 R(A)=R(B)=2,則線性方程組有則線性方程組有 解解其同解方程組為其同解方程組為取取 為自由未知量為自由未知量即得通解即得通解 是任意實數(shù)是任意實數(shù)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系特解特解有唯一解、無解、有無窮多個解？有唯一解、無解、有無窮多個解？例例 結(jié)論：結(jié)論： 例例 求解線性方程組求解線性方程組解解 對其增廣矩陣對其增廣矩陣 B作初等行變換：作初等行變換：由于由于 R（（ A）） =2，而，而 R（（ B）） =3，則線性方程組，則線性方程組 無解無解 。性質(zhì) 2 設(shè) 是非齊次線性方程組的解， 是對應(yīng)齊次線性方程組 Ax＝ 0 的解，則 仍是 非齊次線性方程組的解。 (II) 當(dāng)當(dāng) r＜＜ n時，時， 因此因此 B的列向量的列向量 能由能由 Ax=0基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 線性表示線性表示 (基礎(chǔ)解系含有基礎(chǔ)解系含有 nr 個解個解 ) 從而從而 B的列向量組的秩的列向量組的秩 ≤n－－ r， 即即 R(B)≤n－－ r，故，故 R(A)+R(B)≤n。設(shè)設(shè) B按列分快為按列分快為這意味著：這意味著：即即 是齊次方程組是齊次方程組 AX=0 的解的解（（ I）） 當(dāng)當(dāng) r= n時，時， Ax =0 只有零解，故只有零解，故 B=0， 結(jié)論成立。根據(jù)同解線性方程組寫出其基礎(chǔ)解系和通解。同解線性方程組同解線性方程組 ；；(2)用初等用初等 行變換行變換 將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣 （（ k1， k2， …… ， knr為任意實數(shù)）為任意實數(shù)）命題：命題： 設(shè)設(shè) R(A)= r, 則齊次線性方程組則齊次線性方程組 AX=0的的 任意任意nr個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量 都可以作為它的都可以作為它的 基礎(chǔ)解基礎(chǔ)解 系 。定理定理 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的 秩秩 r=n，它有，它有 唯一唯一零零 解，此時它沒有基礎(chǔ)解系；如果齊次線性方程組解，此時它沒有基礎(chǔ)解系；如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的的系數(shù)矩陣的 秩秩 r＜＜ n，它有，它有 無窮多個解無窮多個解 ，此時它有，此時它有基礎(chǔ)解系，其基礎(chǔ)解系包含基礎(chǔ)解系，其基礎(chǔ)解系包含 nr個解向量，齊次線性個解向量，齊次線性方程組的方程組的 任意解任意解 為其為其 基礎(chǔ)解系的線性組合基礎(chǔ)解系的線性組合 。 的同解方程的同解方程(1)q 令令 x=（（ x1， x2， …， xn）） ‘是齊次線性方程組是齊次線性方程組（（ 1）） 的的 任意解，則任意解，則 易知易知 ξ1， ξ2， …… ， ξnr 是齊次線性方程組的解是齊次線性方程組的解 ，并且，并且 它們它們 線性無關(guān)線性無關(guān)上式又說明，齊次線性方程組的任意解上式又說明，齊次線性方程組的任意解均為均為 ξ1， ξ2， …… ， ξnr的線性組合的線性組合 。v 基礎(chǔ)解系包含的解向量的基礎(chǔ)解系包含的解向量的 個數(shù)個數(shù) 唯一唯一 ( nr(A) )。 齊次線性方程組的任意解向量是齊次線性方程組的任意解向量是 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k的線性組合，的線性組合，則稱則稱 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k為齊次線性方程組為齊次線性方程組的一個的一個 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 。假定假定 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k為齊次線性方程組為齊次線性方程組的的 k個解向量，如果個解向量，如果（（ a））
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