柯西許瓦茲不等式的推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文-展示頁
2025-07-07 23:28本頁面
【正文】 Key words: CauchySchwarz inequality。 Euclidean space。 柯西許瓦茲不等式在實(shí)數(shù)域中有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在我們通過它的三種證明方法，來加深對(duì)其的理解。證法三：利用向量的知識(shí)來證明 證明：設(shè)是兩個(gè)維向量，則由于因此 ，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即或時(shí)，也即與共線時(shí)等號(hào)成立. 在（）中，令，則 （） （）令 則 （）（） （）（） （）推論2 .將柯西許瓦茲不等式中的冪指數(shù)擴(kuò)充，則有赫爾德不等式.赫爾德不等式：對(duì)任意的非負(fù)數(shù)有 其中滿足且 （）證明：利用不等式其中為非負(fù)數(shù)且得赫爾德不等式中，當(dāng)時(shí)為柯西許瓦茲不等式。 解： 故參數(shù)的取值范圍是柯西許瓦茲不等式在微積分中的推廣與應(yīng)用定義：設(shè),在上可積，則 （），或與成正比，則等號(hào)成立.證明：因?yàn)?都在上可積，則由定積分的性質(zhì) 均在上可積，對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分，分點(diǎn)為由定積分的定義，有 由式可知再由極限的保號(hào)性易知（）成立若對(duì)，或與成正比，則（）式中等號(hào)成立，但其逆不真.推論1.（明可夫斯基不等式）設(shè),都在上可積，則有明可夫斯基不等式 （）證明： 由（）式可知因?yàn)閮蛇叾即笥诘扔诹悖矣疫叴罄ㄌ?hào)內(nèi)也大于等于零，所以有推論2： 當(dāng)存在一組不全為零的 使得 時(shí)等號(hào)成立，不等式（）可以改寫為以下行列式形式 （）以這樣的形式給出的好處在于形式美觀便于推廣設(shè)均在上可積，則有 （）證明:注意到關(guān)于 的二次型為非負(fù)二次型，從而其系數(shù)行列式從而得證.推論3:設(shè) 均在上可積，則有 （），且試證：證明：同理有：則 例22．設(shè) 在上連續(xù)，證明：證法一：把不等式中的換成,移項(xiàng)得設(shè)則 為單調(diào)函數(shù)，故，所以證法二：根據(jù) 得證. 證法一用構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明，證法二利用柯西許瓦茲不等式證明，所以我們可以看出后者比前者簡(jiǎn)單的.（1）（2）則有證明：利用（） ，則有由此得到 注意到定義中的條件（1） ，于是，從而得例24．設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，試證：
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