柯西施瓦茨不等式-展示頁
2025-07-02 14:32本頁面
【正文】 rz不等式在維歐氏空間中，對任意的向量定義內(nèi)積定義的長度或范數(shù)為.命題3 對任意的向量有 （8）當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時等號才成立.證明 若，則，（8）式顯然成立.若，則令，則，且當(dāng)線性相關(guān)時等號顯然成立.反之，如果等號成立，由以上證明過程可以看出，或或，即也就是說線性相關(guān).根據(jù)上述在維歐氏空間中的柯西施瓦茨不等式，我們有三角不等式 （9）因為所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有時可很巧妙地解決相關(guān)數(shù)學(xué)命題，如下例3 求證.證明 這里可取由柯西施瓦茨不等式整理即得5 概率空間中的CauchySchwarz不等式命題4 設(shè)為任意隨機變量，若存在，則也存在，且 （10）式中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得 （11）證明 定義實變量的二次函數(shù)為因為對一切，必然有,從而有，于是方程要么無實根，要么就有一個實根，亦即重根，即判別式非正，從而 即 當(dāng)?shù)忍柍闪r，方程有一個重根，使從而 即 且 于是 即 反之，若存在常數(shù)，使得（11）式成立，即從而 ，于是 ，即 ，且故 即在（10）式中等號成立.例4 設(shè)隨機變量與的相關(guān)系數(shù)存在，使，其中當(dāng)時，；當(dāng)時.證明 對隨機變量與應(yīng)用柯西施瓦茨不等式，有即，所以，此時等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得 其中是方程當(dāng)時的解.顯然，當(dāng)時，即當(dāng)時，即該定理表明：當(dāng)時，與之間存在線性關(guān)系，從而相關(guān)系數(shù)作為“標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差”是隨機變量與之間的線性強弱程度的度量，更確切地說應(yīng)該是線性相關(guān)系數(shù).在統(tǒng)計教學(xué)中，求直線趨勢方程的兩個待定系數(shù)時，增強了預(yù)測模型的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、嚴(yán)密性.例5 （求方程系數(shù)中的應(yīng)用）當(dāng)函數(shù)，是由實驗或觀察得到的，建立直線趨勢方程的模型時，要求實際觀察值與趨勢值離差的平方和必須為最小.解 設(shè)，這里令整理得到：消去,.由柯西施瓦茨不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.由于是時間變量，故，所以所以.在直線回歸方程中，同樣用Cauchy不
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