柯西施瓦茨不等式-wenkub
2023-07-08 14:32:39 本頁面
【正文】 （2） 等號成立的充要條件為 . 證明 為方便起見，不妨設(shè) 從而由引理1有對上式進(jìn)行的累次求和，可得 即 （4）由于同理，這樣（4）式為再兩邊同時次冪，得故證得（3）式成立.注1 在命題1中，除，其余均為1，且，則不等式（3）就是不等式（1）的推廣.推論3 （將命題1推廣為無限和不等式）設(shè)且，則（證明過程可仿推論2的證法并結(jié)合引理2）.3 微積分中的CauchySchwarz不等式命題2 設(shè)在可積，則 （5）證明 :因為在上可積，則由定積分的性質(zhì)均在上上可積，對區(qū)間進(jìn)行n等分，有由（1）式知再由極限的保號性易知（5）式成立.注2 若對，或成正比，則（5）式等號成立，但其逆不真.例如，除有限點(diǎn)外，有，但并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求極限：設(shè)在上連續(xù)，有正下界，記，求證： .證明 為了分析的變化趨勢，研究鄰項之間的關(guān)系. 因為，平方得，即.因為在連續(xù)，所以存在，使得,故因為單調(diào)有上界，所以有極限.即在微積分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比較著名的不等式，如下面介紹的Minkowski不等式：定理4 設(shè)在可積，則Minkowski不等式證明 由（5）式 因為兩邊都大于等于零，且右邊大括號也大于等于零，所以有將柯西施瓦茨不等式的冪指數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，有Holder不等式定理5 ，且，則 證明 得證.利用定理5，將定理4的冪指數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，有 證明可參考定理3 的證明，且p=2即為定理4中的不等式.同樣將上命題2進(jìn)行推廣.推論4 設(shè)是閉區(qū)間上為正的個可積函數(shù)，則 （6）證明 不妨設(shè)則由引理1可得這樣就證得不等式（6）成立.注3 在推論4中，取，則得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）.注4 不等式（5）可寫成受此啟發(fā)，易于得到柯西施瓦茨不等式更為一般的推廣形式：設(shè)是閉區(qū)間上的可積函數(shù)，則有即為并且等號成立的充要條件為：存在不全為零的常數(shù)使得.推論5 （將命題2再推廣）設(shè)則 （7） （可仿推論4并結(jié)合反常積分理論即證）.4 維歐氏空間中CauchySchwa
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