指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)-展示頁
2025-05-25 05:02本頁面
【正文】 4．指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。5. 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 0 a 1a 1圖 象性質(zhì)定義域R值域(0 , +∞)定點過定點（0，1），即x = 0時，y = 1（1）a 1，當(dāng)x 0時，y 1；當(dāng)x 0時，0 y 1。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對稱性和關(guān)于y軸對稱 二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）① ② ③ ④ 則：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)時， （底大冪大） x∈(－∞,0)時，（2）特殊函數(shù)的圖像：三、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：①若；；；②當(dāng)兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．四、典型例題 類型一、指數(shù)函數(shù)的概念例1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值．【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù)，可得解得，所以．舉一反三：【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)．其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)．類型二、函數(shù)的定義域、值域例2．求下列函數(shù)的定義域、值域.(1)；(2)y=4x2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)； （3） ；（4）[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R (∵對一切xR，3x≠1).∵ ，又∵ 3x0， 1+3x1，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴值域為(0，1).(2)定義域為R，∵ 2x0， ∴ 即 x=1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴ 值域為[).(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.(4)∵ ∴ 定義域為(∞，1)∪[1，+∞)，又∵ ，∴ ， ∴值域為[1，a)∪(a，+∞).【總結(jié)升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1時，；0a1時，【解析】(1)R(2)要使原式有意義，需滿足3x≥0，即，即．(3) 為使得原函數(shù)有意義，需滿足2x1≥0，即2x≥1，故x≥0，即(4) 為使得原函數(shù)有意義，需滿足，即，所以a1時，；0a1時，.【總結(jié)升華】本題中解不等式的依據(jù)主要是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)所給的同底指數(shù)冪的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性來判斷指數(shù)的大小關(guān)系.類型三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例3．討論函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域．【思路點撥】對于x∈R，恒成立，因此可以通過作商討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，因此可以逐層討論它的單調(diào)性，綜合得到結(jié)果．【答案】函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù) （0，3]【解析】解法一：∵函數(shù)的定義域為（－∞，+∞），設(shè)xx2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，∴，．（1）當(dāng)x1＜x2＜1時，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，則知．又對于x∈R，恒成立，∴．∴函數(shù)在（－∞，1）上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)1≤x1＜x2時，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，則知．∴．∴函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，．∴函數(shù)的值域為
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