【正文】 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. 必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a ＝ 0 時，方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 符合題意 . 當 a ≠ 0 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 應有一正一負根或兩個負根 . 則 1a 0 或 ??? Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0－ 2a 01a 0.解得 a 0 或 0 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. ≥則 或4 4 0120 0 ,1 0aaaa?? ? ???? ? ???? ??必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a ＝ 0 時，方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 符合題意 . 當 a ≠ 0 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 應有一正一負根或兩個負根 . 則 1a 0 或 ??? Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0－ 2a 01a 0 . 解得 a 0 或 0 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. 必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a ＝ 0 時，方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 符合題意 . 當 a ≠ 0 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 應有一正一負根或兩個負根 . 則 1a 0 或 ??? Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0－ 2a 01a 0 . 解得 a 0 或 0 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. (1)條件已知證明結(jié)論成立是充分性 ， 結(jié)論已知推出條件成立是必要性 .(2)證明分為兩個環(huán)節(jié) ， 一是充分性；二是必要性 .證明時 ， 不要認為它是推理過程的 “ 雙向書寫 ” ， 而應該進行由條件到結(jié)論 ， 由結(jié)論到條件的兩次證明 .(3)證明時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形 ， 這就要分清哪是條件 ， 哪是結(jié)論 . 探究提高主頁 變式訓練 3證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ pn＋ q(p≠0，且 p≠1)，求證：數(shù)列 {an}為等比數(shù)列的充要條件為 q＝－ 1. 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， an ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1an＝ pn ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N* ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 主頁 變式訓練 3 已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ pn＋ q(p≠0，且 p≠1)，求證：數(shù)列 {an}為等比數(shù)列的充要條件為 q＝－ 1. 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， an ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ an ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 2a 1 ＝ a n ＋ 1a n ＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { an } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 2a 1 ＝ a n ＋ 1a n ＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， an ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ an ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 2a 1 ＝ a n ＋ 1a n ＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { an } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ a n ＋ 1an＝ pn ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 2a1＝ a n ＋ 1an＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 2a 1 ＝ a n ＋ 1a n ＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ a n ＋ 1a n ＝ pn ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 2a 1 ＝ a n ＋ 1a ＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q . 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . ∵ p ≠ 0 ， p ≠ 1 ， ∴ a n ＋ 1a n ＝ pn ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p . ∵ { a n } 為等比數(shù)列， ∴ a 1 ＝ a n ＋ 1a n ＝ p ，又 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ p 2 ＋ q ， ∴ a 2 ＝ p 2 － p ＝ p ( p － 1) ， ∴ p ( p － 1 )p ＋ q ＝ p ， 即 p － 1 ＝ p ＋ q . ∴ q ＝－ 1. 綜上所述， q ＝－ 1 是數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列的充要條件 . 必要性：當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q