【正文】 山東金榜苑文化傳媒集團 步步高大一輪復習講義 命題及其關系、 充分條件與必要條件 主頁 常 用 邏 輯 用 語 命題及 其關系 簡單的邏 輯聯(lián)結詞 充分條件 必要條件 充要條件 量詞 命題 充分條件 充要條件 必要條件 且 ∧ 全稱量詞 ? 存在量詞 ? 全稱命題 特稱命題 或 ∨ p∧ q p∨ q p ?q p ?q p ?q ? p 或 ? q 非 ? 四種 命題 原命題：若 p則 q 逆命題：若 q則 p 否命題：若 ?p則 ?q 逆命題：若 ?q則 ?p 互逆 互逆 互否 互否 互為逆否 等價關系 四種命 題的相 互關系 知識網(wǎng)絡主頁 要點梳理憶 一 憶 知 識 要 點 在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可以__________的 陳述句 叫做命題 . 其中 ____________的語句叫真命題， _____________的語句叫假命題 . 判斷真假 判斷為真 判斷為假 (1) 四種命題 主頁 原命題 若 p則 q 逆命題 若 q則 p 否命題 若 ﹁ p則 ﹁ q 逆否命題 若 ﹁ q則 ﹁ p 互否 互否 (2) 四種命題間的逆否關系 要點梳理憶 一 憶 知 識 要 點 主頁 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 假 真 真 真 真 真 真 真 真 假 假 假 假 假 假 假 ① 兩個命題互為 逆否命題 ,它們有相同的真假性 . ② 兩個命題為 互逆命題或互否命題 ,它們的真假性沒有關系 . (3)四種命題的真假關系 要點梳理憶 一 憶 知 識 要 點 主頁 ① p?q, 相當于 A?B , 即 從集合角度理解： (1)若 p?q, 則 p是 q的 ____________. 必要條件 (2)若 q ? p, 則 p是 q的 ___________. 或 ② q ? p, 相當于 B ? A, 即 (3)若 q? p, 則 p是 q的 ___________. ③ p? q, 相當于 A= B, 即 充分條件 必要條件 充要條件 要點梳理憶 一 憶 知 識 要 點 ( 設集合 A＝ {x|x滿足條件 p }, B＝ {x|x滿足條件 q } ) 或 主頁 3② ③充 分 不 必 要基礎自測D C 題號 答案 1 2 3 4 5 主頁 題 型 一探究提高四種命題的關系及真假判斷 例 1. 以下關于命題的說法正確的有 ________ (填寫所有正確命題的序號 ). ① “若 log2a0，則函數(shù) f(x)＝ logax (a0， a≠1)在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)”是真命題； ②命題“若 a＝ 0，則 ab＝ 0”的否命題是“若 a≠0，則 ab≠0”； ③命題“若 x, y都是偶數(shù) ,則 x＋ y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題； ④命題“若 a∈ M，則 b?M”與命題“若 b∈ M，則 a?M”等價 . ②④ (1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關鍵 。(2)根據(jù) “ 原命題與逆否命題同真同假 ， 逆命題與否命題同真同假 ” 這一性質 ， 當一個命題直接判斷不易進行時 ， 可轉化為判斷其等價命題的真假； (3)認真仔細讀題 ， 必要時舉特例 . 對于①，若 log2a0，則 a1 ?f(x)＝ logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù) 。 對于③，其逆命題是“若 x＋ y是偶數(shù) ,則 x, y都是偶數(shù)” , 是假命題 . 主頁 變式訓練 1有下列四個命題： ①“若 x＋ y＝ 0，則 x， y互為相反數(shù)”的逆命題； ②“全等三角形的面積相等”的否命題； ③“若 q≤1，則 x2＋ 2x＋ q＝ 0有實根”的逆否命題； ④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題 . 其中真命題的序號為 ________. ① 的逆命題是“若 x, y互為相反數(shù) ,則 x＋ y＝ 0”, 真 ； ①③ ② 的否命題是“不全等的三角形的面積不相等” ,假 ； ③ 若 q≤1，則 Δ＝ 4－ 4q≥0，所以 x2＋ 2x＋ q＝ 0 有實根 ,其逆否命題與原命題是等價命題 , 真 ； ④ 的逆命題是“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊 三角形” , 假 . 主頁 題 型 二例 2. 指出下列命題中， p 是 q 的什么條件 ( 在 “ 充分不必要條件 ” 、 “ 必要不充分條件 ” 、 “ 充要條件 ” 、 “ 既不充分也不必要條件 ” 中選出一種作答 ). ( 1) 在 △ ABC 中， p ： ∠ A ＝ ∠ B ， q ： s i n A ＝ s i n B ； ( 2) 對于實數(shù) x 、 y ， p ： x ＋ y ≠ 8 ， q ： x ≠ 2 或 y ≠ 6 ； ( 3) 非空集合 A 、 B 中， p ： x ∈ A ∪ B ， q ： x ∈ B ； ( 4) 已知 x 、 y ∈ R ， p ： ( x － 1)2＋ ( y － 2)2＝ 0 ， q ： ( x － 1) ( y － 2) ＝ 0. (2) ?p： x＋ y＝ 8， ? q： x＝ 2且 y＝ 6， ∴ p是 q的 充要條件 . ( 1 ) A B a b? ? ? s i n s i n ,AB??即 ? q是 ?p的充分不必要條件， 顯然 ? q ??p， ,pq??但 191。所以 p是 q的 充分不必要條件 . 充分、必要、充要條件的概念與判斷 解 : 主頁 題 型 二充分、必要、充要條件的概念與判斷 (3)顯然 x∈ A∪ B不一定有 x∈ B , (4)條件 p： x＝ 1且 y＝ 2，條件 q： x＝ 1或 y＝ 2, 但 x∈ B一定有 x∈ A∪ B , 所以 p是 q的 必要不充分條件 . 所以 p ?q 故 p是 q的 充分不必要條件 . ,qp但 191。 判斷 p是 q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件 p能否推得條件 q；二是由條件 q能否推得條件 的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題 . 探究提高主頁 變式訓練 2給出下列命題： ①“ 數(shù)列 { an} 為等比數(shù)列 ” 是 “ 數(shù)列 { anan ＋ 1} 為等比數(shù)列 ” 的充分不必要條件； ②“ a ＝ 2 ” 是 “ 函數(shù) f ( x ) ＝ | x － a |在區(qū)間 [2 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù) ”的充要條件； ③“ m ＝ 3 ” 是 “ 直線 ( m ＋ 3) x ＋ my － 2 ＝ 0 與直線 mx － 6 y ＋ 5 ＝0 互相垂直 ” 的充要條件； ④ 設 a ， b ， c 分別是 △ ABC 三個內(nèi)角 A ， B ， C 所對的邊，若 a＝ 1 ， b ＝ 3 ，則 A ＝ 30176。 是 B ＝ 60176。 的必要不充分條件 . 其中 真．命題的序號是 ___ __ ___ . ①④ 主頁 對于 ① ,當數(shù)列 {an}為等比數(shù)列時 , 易知數(shù)列 {anan＋ 1}是等比數(shù)列 。 但當數(shù)列 {anan＋ 1}為等比數(shù)列時 ， 數(shù)列 {an}未必是等比數(shù)列 ,如數(shù)列 1, 3, 2, 6, 4, 12, 8顯然不是等比數(shù)列 ， 而相應的數(shù)列 3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列 ， 因此 ① 正確； 對于②，當 a≤2時，函數(shù) f(x)＝ |x－ a|在區(qū)間 [2，＋ ∞)上是增函數(shù)，因此②不正確； 對于③，當 m＝ 3時，相應兩條直線垂直，反之，這兩條直線垂直時，不一定有 m＝ 3，也可能 m＝ ③不正確； 對于 ④ ，由題意得ba ＝s i n Bs i n A ＝ 3 ，若 B ＝ 60176。 ，則 s i n A ＝12 ，注意到 b a ，故 A ＝ 3 0176。 ，反之，當 A ＝ 3 0176。 時，有 s i n B ＝32 ，由于 b a ，所以 B ＝ 6 0176。 或 B ＝ 120176。 ，因此 ④ 正確 . 變式訓練 2主頁 題 型 三充要條件的證明 例 3. 求證：關于 x的方程 ax2＋ 2x＋ 1＝ 0至少有一個負實根的充要條件是 a≤ 1. 證明 ： 充分性： 當 a ＝ 0 時， 方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，其根為 x ＝－ 12 ， 方程有一個負根，符合題意 . 當 a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根， 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a 0 時 , Δ ＝ 4 － 4 a 0 , 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根 , 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ????? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 證明 ： 充分性： 當 a ＝ 0 時， 方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，其根為 x ＝－ 12 ， 方程有一個負根，符合題意 . 當 a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根， 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ????? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a 0 時 ,Δ ＝ 4 － 4 a 0 , 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根 , 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 0 a