概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第12講(2)-展示頁
2025-01-29 07:39本頁面
【正文】 ,y,有 則稱 X,Y相互 獨(dú)立 . 它表明，兩個 獨(dú)立時，它們的聯(lián)合 分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 . 設(shè) X,Y是兩個 ，若對任意的 x,y,有 )()(),( yYPxXPyYxXP ????? 則稱 X,Y相互 獨(dú)立 . X與 Y 獨(dú)立 )()(),( jiji yYPxXPyYxXP ?????即 jiij ppp ???連續(xù)型 )()(),( yfxfyxf YX?說明 :二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 相互獨(dú)立 , 則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布 對一切 i , j 有 離散型 X與 Y 獨(dú)立 對任何 x ,y 有 二維連續(xù) . ( X,Y ) 相互獨(dú)立 )0)(()()( ?? yfyxfxf YYXX)0)(()()( ?? xfxyfyf XXYY0??)。,。xaσXf x eσx????? ? ? ? ?又)()(),( yfxfyxf YX ??所以解： 由于 X 與 Y 相互獨(dú)立 , 例 3 1,() 20, .Yb y bfy b?? ? ??? ??? 其它22()211( , ) ,2 2xaσf x y eb σ?????得.0),(, ?? yxfby 時當(dāng),.xb y b? ? ? ? ?? ? ?其中因?yàn)?X與 Y 相互獨(dú)立 , 解 所以 于是 }2{}1{}2,1{ ????? YPXPYXP ?? ,?求隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布律 . 例 4 設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為 XXP31YYP42}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ?????}4{}1{}4,1{ ????? YPXPYXP ?? ,?}2{}3{}2,3{ ????? YPXPYXP ?? ,?}4{}3{}4,3{ ????? YPXPYXP ?? .?的聯(lián)合分布律為因此 ),( YXYX 4213 }2{}1{}2,1{ ????? YPXPYXP ?? ,?例 5: 甲乙兩人約定中午 12時 30分在某地會面 .如果 甲來到的時間在 12:15到 12:45之間是均勻分布 . 乙獨(dú)立地到達(dá) ,而且到達(dá)時間在 12:00到 13:00之間 是均勻分布 . 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時 間不超過 5分鐘的概率 . 又甲先到的概率是多少 ？ 解 : 設(shè) X為甲到達(dá)時刻 ,Y為乙到達(dá)時刻 以 12時為起點(diǎn) ,以分為單位 ,依題意 , X~U(15,45), Y~U(0,60) 1, 1 5 4 5() 300,Xxfx????? ??? 其它所求為 P( |XY | 5) 及 P(XY) ?1, 0 6 0() 600,Yxfy????? ??? 其它解 : 設(shè) X為甲到達(dá)時刻， Y為乙到達(dá)時刻 以 12時為起點(diǎn)，以分為單位，依題意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 1, 1 5 4 5 , 0 6 0( , ) 18000,xyf x y?? ? ? ??? ??? 其它甲先到 的概率 由獨(dú)立性 先到的人等待另一 人到達(dá)的時間不超 過 5分鐘的概率 解： 4 5 51 5 51[]1800xxd y d x??? ??P(| XY| 5) ?xy0 15 45106040????5yx ??5yx ???=P( 5 X Y 5) =1/6 =1/2 xy0 15 45106040????yx?P(XY) 4 5 6 0151[]1800x d y d x? ??二、二維 ?推廣到 n維隨機(jī)變量 ),.(. 21 nXXXvrn ?維? ? ??? ?? ??????????n nx
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