【正文】 1122201110???????????aaaabaababbnnnnnnnnnnn???????????????????????9/18,22/50 b: ubububyayay nnnnnnn 0)1(1)(0)1(1)( ??????? ???? ??ubyaubyaubyauby nnnnn 00)1(11)1(11)( )()()( ???????? ??? ?改寫為 令 ??????????????????ubyaxxubyaxxubyxnnnnn11111121???? ? ubxxxxyubabbabbabbabxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnn???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1210011221112101211210001000100010001??????????????10/18,23/50 結(jié)論 3 給定單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm???????????????其極點即分母方程的根 n??? , 21 ?為兩兩互異實數(shù)，則對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出： (1) mn，即系統(tǒng)為嚴真情形 nissgksksksksgisinn,2,1),)((lim)(2211??????????????????對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為 ? ?xyukkkxxnn1,1,12121??????????????????????????????????11/18,24/50 (2) m=n，即系統(tǒng)為真情形 令 ? ? ? ?nissgkasasasabbsabbsgsgbasasasbsbsbsbsgisinnnnnnnnnnnnnnnn,2,1),)((lim)()()(01110011101110111????????????????????????????????????????對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為： ? ? ubxyukkkxxnnn????????????????????????????1,1,12121???????12/18,25/50 由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述 例 1 設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述 45 1372 ?? ?ss s21?s?解 上圖等效為 21?s45?s12?su1xy3x2x?指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程： 21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx????????????????13/18,26/50 寫成矩陣形式 ? ???????????????????????????????????????????????????????????321321321011025211210504xxxyuxxxxxx???例 2 設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 3322113211231113231)()())(()()()(??????????????????????sesesesesessssBsg試列寫其狀態(tài)空間表達式。 若 f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為 x、 u的線性函數(shù) ,該系統(tǒng)稱為 線性系統(tǒng) 對于線性系統(tǒng) ???????utDXtCYutBXtAX)()()()(?非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)。） 三是 :變量取值時間的離散屬性（ 所有變量只能在離散時刻 k取值 ）。） 二是 :描述方程的線性屬性。 標軸構(gòu)成的 坐 ( ) ( ) ( )y t C x t D u t??輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān) 系的數(shù)學表達式： (6) (7)狀態(tài)空間表達式： (5)+ (6). 狀態(tài)變量的特點： (1)獨立性：狀態(tài)變量之間線性獨立 . (2)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實 際上存在無窮多種方案 . (3) 等價性：兩個狀態(tài)向量之間只差一個非奇異 變換 . (4)現(xiàn)實性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量 . (5)抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義 . 狀態(tài)空間表達式的一般形式： (1)線性系統(tǒng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x t A t x t B t u t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y t C t x t D t u t??,nxR? ,puR? qyR? 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例 )(te?1RLCcU2R 2RULiCi????????????edtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc112 0eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc????????????????????????????????????????????????????????????????????????2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1??以上方程可表為形如 DuCXYBuAXX?????描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的 狀態(tài)空間表達式（動態(tài)方程或運動方程），包括 狀態(tài)方程 （描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程 （描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。第一部分 : 線性系統(tǒng)時間域理論 第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)和狀態(tài)空間 線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學模型為系統(tǒng)描述 ,直接在時間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運動和特性的一種理論和方法。 系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學描述 2u1upuqy2yqynxxx , 21 ?1/4,1/50 (1).系統(tǒng)的外部描述 外部描述常被稱作為輸出 —輸入描述 例如 .對 SISO線性定常系統(tǒng) :時間域的外部描述 : ubububyayayay nnnnn 0)1(1)1(10)1(1)1(1)( ???????? ???? ??復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述 01110111)()()(asasasbsbsbsusysgnnnnn???????????????(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式 ,需要由兩個數(shù)學方程表征 ,—— 狀態(tài)方程和輸出方程 (3)外部描述和內(nèi)部描述的比較 一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述 ,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分 . 內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述 ,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學特性 . 2u1upuqy2yqynxxx , 21 ?2/4,2/50 基本概念 定義 (1)狀態(tài)： 系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況 (2)狀態(tài)變量： 能夠完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的 最小一組變量： ? ?0 0(). ttx t x ta ? ? 表示系統(tǒng) 時刻的狀態(tài) 0t. b 0tt? ??tu0tt?當 時的輸入 給定，且上述 時的行為 狀態(tài)確定時，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng) 初始 在 2u1upuqy2yqynxxx , 21 ?(5)狀態(tài)方程 ：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系 的、一階微分方程（組）： ( ) ( ) ( )x t A x t B u t??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11, , . nTnx t L x tx t x t L x t?作為分量的向量，即 (3) 狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的 個獨立狀態(tài)變量 n為 ? ? ? ?1 , nx t x t (4) 狀態(tài)空間 : 以狀態(tài)變量 n 維空間。 1/7,5/50 機電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例 )(teaRaLconstif ?FJ,? ??????????????????????????????????????????????????????????aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001??上式可表為形如 DuCXYBuAXX?????2/7,6/50 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 1u2upu1x2xnx? ??1y2yqy動力學部件 輸出部件連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線性時不變系統(tǒng) ???????DuCXYBuAXX? 線性時變系統(tǒng) ???????utDXtCYutBXtAX)()()()(?3/7,7/50 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖 )(tB ? )(tC)(tD?X?YUX)(tA4/7,8/50 人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例 假設(shè)某個國家 ,城市人口為 107,鄉(xiāng)村人口為 9x107,每年 4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村 , 2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市 ,整個國家的人口的自然增長率為 1% 設(shè) k為離散時間變量 , x1(k)、 x2(k)為第 k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口 , u(k)為第 k年所采取的激勵性政策控制手段 ,設(shè)一個單位正控