【正文】 ector and convenience, eigenvalues and eigenvectors and their applications has very important value.Text has divided into three parts, the first part, the concept of eigenvalue and eigenvector, properties of fully summarized. This is in order to better use of the definition and properties to solve the related matrix of the problem。 設(shè)某一動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為 L(單位：年） ，將區(qū)間[0, L]作 n 等分得 n個(gè)年齡組每個(gè)年齡組的長(zhǎng)度為 設(shè)第 i 個(gè)年齡組 的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為αi ，存活率（即第 i 個(gè)年齡組中可存活到第 i+1 個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目與第 i 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總數(shù)之比）為 bi 。為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可以建立如下數(shù)學(xué)模型：設(shè) 分別為某一地區(qū)目前的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染水平， 分別為該地0,yx 1,yx9區(qū)若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和環(huán)境污染水平，且有如下關(guān)系：令則上述關(guān)系的矩陣形式為 該式反映了該地區(qū)目前和若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和環(huán)境污染水平之間的關(guān)系.如 則由上式可得由此可以預(yù)測(cè)該地區(qū)若干年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和環(huán)境污染水平. 一般地，若令 分別為該地區(qū) t 年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與環(huán)境污染水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展tyx,與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型為令則上述關(guān)系的矩陣形式為由此，有由此可預(yù)測(cè)該地區(qū) t 論： 由矩陣 A 的特征多項(xiàng)式 ?????01023yxy????????????10,x????????????????100yx? 001 414123????????????????A),2,1(2311 ktyxyttt ttt ???????????????tty? ktAtt ,2,1,1?????.)(, 010323 21201 ??tt AA?? ????? )1(4213|| ????????E10得 A 的特征值為對(duì)度 ，解方程 得特征向量41??0)4(??XAE對(duì) ，解方程 得特征向量1顯然, 線性無(wú)關(guān)21,?下面分三種情況分析： Case 1 一個(gè)性質(zhì):若 是矩陣 A 的屬于特征值 的特征向,則 也是 的屬于特征值 的特征向???kAk?量度 (*)由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 即 或 此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 的前提下， t 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢(shì). 不討論此種情況020???y??不是特征值 , 不能類似分析。于是2 2(3)a0k,??????2?? 必有 的因式，()?因此由 得 a=,?對(duì)于 由 即 ,??()x0,??A121240???????????????，得到線性無(wú)關(guān)的特征向量 用 Schmidt 正交化方12=,(,1).?????（ ）法，現(xiàn)正交化，有8 21122(,)41, 0,50?????????????????????????????再將 單位化，得12, 121,???????????????????對(duì)于 由 即 7,??()x0,???????????????得特征向量 單位化為 3(1,2)???31(,2).???那么，令 即有 12354(,),3205Q??????????12Q=????????3 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、信息科學(xué)、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有，萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型，還有很多相關(guān)的生活實(shí)例，在本文中著重介紹經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型和萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型。例 2：設(shè)矩陣 的特征值有重根，試求正交矩陣 Q，使 為對(duì)角形。因此， 分別是矩陣 A 關(guān)于特征值 和 的特征1k232(),k?? =1?0?向量， （ ） 。330,0?3?由已知條件，有 123123123123(,)(,45,0)=0,5??????????????（ ， ， ）記 由 線性無(wú)關(guān)，知矩陣 P 可逆，123(,),???123,? 其中 40,5????????因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦担仃?B 的特征多項(xiàng)式 21403(1),5???????所以矩陣 A 的特征值是1，1,0.對(duì)于矩陣 B， ??????????????????所以矩陣 B 關(guān)于特征值 的特征向量是 =1?=??（ 2,1） 。5例 2，設(shè) A 是 3 階矩陣， 是 3 維線性無(wú)關(guān)的列向量，且12,? 12312345,0????A???A?求矩陣 A 的特征值和特征向量。 ）例 1，求矩陣 的特征值和特征向量？3462?????A???解：本題可以由特征方程 ，即0???A? 223474663(7)51)()????????當(dāng) 時(shí)， 得 ?410,2??????????A?????121,0。? k?kA2 矩陣的特征值和特征向量的求法對(duì)于具體的數(shù)字矩陣的步驟如下：1）先有具體的特征方程 求出矩陣 A 的全部特征值 0???A? i?（i=1,2,3,、 、 、n,）,其中可能有重根，2）對(duì)每個(gè)不同的特征值 ，分別解齊次方程組 ，i ()x0i????3）求出方程組的基礎(chǔ)解析（注：設(shè) ，基礎(chǔ)解析為 、 、 、 ， 則矩陣 A 屬于特征值 的()iirr???A?12,?,inr?? i?全部特征向量為 （其中 ，?5）n 階矩陣 A 可逆的充分必要條件是，他的任一特征值均不等于零。Ai?（注：因 A 只有 n 個(gè)特征值，故 A 的特征向量雖有無(wú)窮多個(gè)，但線性無(wú)關(guān)的至多有 n個(gè)，并且若 是矩陣 A 的不同特征值， 分別為 的特征向量，則 與12, 12,?12,?1? 的線性組合 不再是 A 的特征向量。i（注：該性質(zhì)說(shuō)明 的特征向量不是唯一的，但反過(guò)來(lái)，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)i特征值。 稱為矩陣 的特征()f??A0???A?方程。0 ?A0?定義 2，設(shè) 是 n 階矩陣，若存在數(shù) 及非零的 n 維列向量 ，使得A?? ???成立，則稱 是矩陣 特征值，稱非零向量 是矩陣 屬于特征值 的特征向?量。關(guān)鍵詞：特征值，特征向量，矩陣 2緒論在已有研究的基礎(chǔ)上，該文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加簡(jiǎn)捷便利，征值與特征向量在不同類型矩陣中的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，使問(wèn)題更簡(jiǎn)單，運(yùn)算上更方便，運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問(wèn)題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性得到了很大的展現(xiàn)。第三部分，是舉出特征值與特征向量在生活的具體事例，來(lái)展示他的應(yīng)用性。本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)特征值與特征向量的應(yīng)用作者姓名： 盧超男指導(dǎo)教師： 蘭文華所在學(xué)部： 信息工程學(xué)部專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)（屆）： 2022 屆 2 班二〇一三年四月二十六日目 錄摘要 .............................................................1緒論 .............................................................21 特征值和特征向量 ..............................................3 特征值與特征向量的概念 .....................................3 特征值與特征向量的性質(zhì) .....................................32 矩陣的特征值和特征向量的求法 ..................................4 具