矩陣的特征值與特征向量分析及應(yīng)用-畢業(yè)論文-展示頁
2024-09-08 00:08本頁面
【正文】 （ 1） 那么λ就叫做σ的一個(gè)本征值，而ξ叫做σ的屬于特征根λ的一個(gè)本征向量． 顯然，如果ξ是 α∈ F 的屬于本征值λ的一個(gè)本征向量，那么對(duì)于任意 α ∈ F,都有 σ（ α ξ） =α σ（ξ） =λ（ α ξ） 這樣，如果ξ 是σ的一個(gè)本征向量，那么由ξ所生成的一維子空間 U=｛ α ξ |α∈ F｝在σ之下不變；反過來，如果 V 的一個(gè)一維子空間 U 在σ之下不變，那么 U 中每一個(gè)非零向量都是σ的屬于同一本征值的本征向量。 因而系數(shù)行列式 （ 3） 0212222111211??????????????nnnnnnaaaaaaaaa?????????? 反過來，如果λ∈ F，滿足等式（ 3），則齊次線性方程組（ 2）有非零解（ k1， k2， … ，kn）， ξ＝ k1α 1+ k2α 2+…+ k nα n 滿足等式（ 1）， λ 是σ的一個(gè) 本征值 ，ξ就是σ的屬于 本征值 λ 的 本征向量 。 ③ 線性變換的 本征值 與 矩陣的特征根的關(guān)系 1）如果 σ 關(guān)于某個(gè)基的矩陣是 A,那么 σ 的 本征值 一定是 A的特征根，但 A 的特征根卻不一定是 σ 的 本征值 ， A 的 n 個(gè)特征根中屬于數(shù)域 F的數(shù)才是 σ 的 本征值 ； （ 2） σ 的 本征向量 是 V中滿足（ 1）式的非零向量 ξ ，而 A 的 本征向量 是 Cn 中的滿足 Ax0=λ x0的非零列向量 x0 3）若 λ ∈ F 是 A 的特征根，則 A的 Fn中屬于 λ 的就是 σ 的 λ 屬于的特征向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)． 線性變換的特征根與特征向量的求法 現(xiàn)在把求線性變換 σ 的特征根和特征向量的步 驟歸納如下： 1）在線性空間 V 中取一個(gè)基｛ α 1， α 2， … ， α n｝，求出 σ 在這個(gè)基下的矩陣 A； 2) 計(jì)算特征多項(xiàng)式 fA(x)=|XIA|,求出它的屬于數(shù)域 F 的根 λ 1， λ 2， … ， λ s； 3) 對(duì)每個(gè) λ i(i=1,2, …, s)求齊次線性方程組 (λ iIA)X=0 的基礎(chǔ)解系； 4) 以上面求出的基礎(chǔ)解系為坐標(biāo)，寫出 V中對(duì)應(yīng)的向量組，它就是特征子空間 Vλ i 的一個(gè)基，從而可確定 σ 的特征向量 ． 矩陣的特征值與特征向量分 析及應(yīng)用 8 例 4 設(shè) R 上的三維線性空間 V 的線性變換 σ 在基｛ α 1， α 2， α 3｝下 的矩陣是 ??????????????163053064 求 σ 的特征根和對(duì)應(yīng)的特征向量 ． 解 σ 的 矩陣 A已給出，先求特征多項(xiàng)式和特征根． ? ? ? ?211630530642 ???????????? ??????Af fA(x)的根為 λ 1＝ 1（二重根）， λ 2＝ 2 都是 σ 的特征根．對(duì)特征根 λ 1＝ 1，解齊次線性方程組（ 1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問題 .為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型： 設(shè) 00,yx 分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平， 11,yx 分別為該地區(qū) 若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，且有如下關(guān)系： 令 則上述關(guān)系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系 . 如 則由上式得 由此可預(yù)測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 . 一般地，若令 tt yx, 分別為該地區(qū) t 年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā) 展水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型為 ???????001001 223 yxy yxx?????????????????? 111000 , yxyx ?? ????????? 22 13A.01 ?? A??????????????????? 11000 yx?001 4114441122 13 ??? ????????????????????????????????????? A),2,1(2231111 ktyxy yxxtttttt ?????????????矩陣的特征值與特征向量分 析及應(yīng)用 10 令 則上述關(guān)系的矩陣形式為 由此，有 由此可預(yù)測該地區(qū) t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 . 下面作進(jìn)一步地討論： 由矩陣 A 的特征多項(xiàng)式 得 A 的特征值為 對(duì) 度 41?? ，解方程 0)4( ?? XAE 得特征向量 對(duì) 11?? ，解方程 0)( ?? XAE 得特征向量 顯然 , 21,?? 線性無關(guān) 下面分三種情況分析： Case 1 一個(gè)性質(zhì) :若 ? 是矩陣 A的屬于特征值 ? 的特征向 ,則 ? 也是 kA 的屬于特征值 k? 的特征向量 度 (*) 由 (*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 即 或 ????????? ttt yx?ktA tt ,2,1,1 ??? ???.)(,010323021201???????????ttt AAAAAAA?????????? ??)1)(4(22 13|| ????? ???? ????? AE1,4 21 ?? ??????????? 111??????????? 212??????????? 1110 ?????????????? 1141110 ttttt AA ?????????????????????? 114tttyx ttt yx 4??矩陣的特征值與特征向量分 析及應(yīng)用 11 此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 的前提下， t 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢 . 020 ???y? ? 不討論此種情況 0?? 不是特征值 , ? 不能類似分析。 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為 L(單位：年），將區(qū)間 [0,L]作 n 等分得n 個(gè)年齡組 每個(gè)年齡組的長度為
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