【正文】 都有，萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型，還有很多相關(guān)的生活實(shí)例，在本文中著重介紹經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型和萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型。因此， 分別是矩陣 A 關(guān)于特征值 和 的特征1k232(),k?? =1?0?向量， （ ） 。5例 2，設(shè) A 是 3 階矩陣， 是 3 維線性無關(guān)的列向量，且12,? 12312345,0????A???A?求矩陣 A 的特征值和特征向量。?5）n 階矩陣 A 可逆的充分必要條件是，他的任一特征值均不等于零。i（注：該性質(zhì)說明 的特征向量不是唯一的，但反過來，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)i特征值。0 ?A0?定義 2，設(shè) 是 n 階矩陣，若存在數(shù) 及非零的 n 維列向量 ，使得A?? ???成立，則稱 是矩陣 特征值，稱非零向量 是矩陣 屬于特征值 的特征向?量。第三部分，是舉出特征值與特征向量在生活的具體事例，來展示他的應(yīng)用性。這是為了更好的利用定義和性質(zhì)來解決相關(guān)的矩陣習(xí)題；第二部分，是具體的將矩陣分類，按照矩陣的類型與特征值和特征向量的性質(zhì)進(jìn)行匹配，具體的解決問題并有相關(guān)的例題。31 特征值和特征向量定義 1，設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間 Ｖ的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域 中的一數(shù)A? ? ，存在一個(gè)非零向量 ，使得0?? 0=?那么 稱為 的一個(gè)特征值，而 稱為 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量。1） 如果 都是特征值 所對(duì)應(yīng)的特征向量，則 的線性組合 12?， i?12?， 12ka?（非 0 時(shí)）仍是屬于 的特征向量。 ）2?2ka?3）特征值的和等于矩陣主對(duì)角線上元素之和，特征值的乘積等于矩陣 A 行列式的值，即 11,nniii?????4）n 階矩陣 A 和他的轉(zhuǎn)置矩陣 有相同的特征值。???????????????當(dāng) 時(shí)， 得 2?5482,40???????????????3,2??????當(dāng)所以 A 的特征值是 相應(yīng)的特征向量分別是1237,? 其中 123,k??(k,)(0k.?抽象矩陣，要根據(jù)特征值與特征向量的定義及性質(zhì)推導(dǎo)出特征值的取值。若 即 那么矩陣 A 關(guān)于特征值 的特征向量是=??， ???A（ ） ， ? 123123=+?????????（ ， ， ） 。124a???????? A?解：A 的特征多項(xiàng)式 1212440aa???????? 233210()1()a0,a???????????由于判別式 沒有實(shí)數(shù)根，即4(3)?（ ） 所以只能 是重根。但是 可以由 唯一線性表出來0?0?21?，213???1,21????????1??2???????10 ????????1410ttttt ????????14ttyxtttyx???????2120??Case??????7130ase11由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)即 由此可預(yù)測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 因無實(shí)際意義而在 Case 2 中未作討論，但在 Case3 的討論中仍起到了重要作用. 由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中成功的被應(yīng)用. 萊斯利（Leslie）種群模型 萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關(guān)系。 The second part, is concrete matrix to classification, according to the type of matrix and characteristic value and characteristic vector matching and the properties of concrete problem solving and a related example. The third part, it is name eigenvalue and eigenvector in the concrete facts of life, to show his application.Characteristic value and characteristic vector has a wide range of USES, this paper only on characteristic value and characteristic vector concept, properties, application in mathematical matrix and life carries on the brief research conclusion.Keywords: characteristic value of characteristic vector matrix 20河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）評(píng)議書姓 名 學(xué)部 信息工程 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)（班） 2022 級(jí) 1班論 文 題 目 特征值與特征向量的應(yīng)用 完成時(shí)間 4 月 26 日論文內(nèi)容摘要 本篇論文，通過對(duì)特征值和特征向量的基礎(chǔ)性闡述，應(yīng)用到矩陣的解題實(shí)例中，最后進(jìn)行對(duì)生活中應(yīng)用的論證。特征值與特征向量還有很廣泛的用途，本文只是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)，在數(shù)學(xué)矩陣與生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡短的研究歸納。同時(shí)將特征值和特征向量應(yīng)用到生活中的應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，環(huán)境污染的增長類型，萊斯利種群的相關(guān)問題。論文（設(shè)計(jì)）的基礎(chǔ)條件及研究路線首先，明白相關(guān)的定義，如特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、對(duì)角矩陣等相關(guān)的概念。進(jìn)度計(jì)劃： ：指導(dǎo)教師和學(xué)生進(jìn)行雙選，確定對(duì)應(yīng)名單 ：畢業(yè)論文選題，文獻(xiàn)調(diào)研填寫論文任務(wù)書、開題 報(bào)告 ：進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作 2022:：進(jìn)一步修改論文，并最終定稿 ：論文答辯、填報(bào)畢業(yè)論文的有關(guān)資料指導(dǎo)教師意見：指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見： 教研室主任簽名： 年 月 日26附頁：課題論證 矩陣是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的基本概念之一,是高等代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. 矩陣的特征值與特征向量問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，多重要方面，對(duì)于該課題的研究加深了我們對(duì)高等代數(shù)各個(gè)部分的認(rèn)識(shí)，從而使我們更深刻的了解高等代數(shù)的相關(guān)理論. 對(duì)矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其應(yīng)用探究，不僅對(duì)提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很重要，可，矩陣特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，還有在力學(xué)、信息、科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用.、孟世才、許耿在《淺談線性代數(shù)中“特征值與特征向量”的引入》中，從線性空間 V 中的線性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)，、劉小明在《特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用》中，從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)著手，結(jié)合向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階。多項(xiàng)式的根的顯式代數(shù)公式僅當(dāng)存在比率為4以下。然而，任意程度的多項(xiàng)式的所有根這種方法在實(shí)踐中是不可行的，因?yàn)橄禂?shù)將被污染的不可避免的舍入誤差，多項(xiàng)式的根可以是一個(gè)極為敏感的功能（例如由威爾金森的多項(xiàng)式系數(shù)） 。對(duì)于大的的厄密共軛的稀疏矩陣，theLanczos 算法。上述矩陣 A 有另一個(gè)特征值。 and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.[10] However, this approach is not viable in practice because the coefficients would be contaminated by unavoidable roundoff errors, and the roots of a polynomial can be an extremely sensitive function of the coefficients (as exemplified by Wilkinso