【正文】 ximate numerical methods.In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be puted exactly, since they are sums of products of matrix elements。3b?Some numeric methods that pute the eigenvalues of a matrix also determine a set of corresponding eigenvectors as a byproduct of the putation.。s polynomial).[10]Efficient, accurate methods to pute eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrices were not known until the advent of the QR algorithm in 1961. [10] Combining the Householder transformation with the LU deposition results in an algorithm with better convergence than the QR algorithm.[11] For large Hermitian sparse matrices, theLanczos algorithm is one example of an efficient iterative method to pute eigenvalues and eigenvectors, among several other possibilities.[10][edit] Computing the eigenvectorsOnce the (exact) value of an eigenvalue is known, the corresponding eigenvectors can be found by finding nonzero solutions of the eigenvalue equation, that bees a system of linear equations with known coefficients. For example, once it is known that 6 is an eigenvalue of the matrix ???????3614Awe can find its eigenvectors by solving the equation ， that isV6A??????????????yx6314This matrix equation is equivalent to two linear equations that is ????yx4?????02xBoth equations reduce to the single linear equation . Therefore, any vector of the form y2?,for any nonzero real number a, is an eigenvector of A with eigenvalue .??39。類(lèi)似的計(jì)算表明，對(duì)應(yīng)的特征向量是非零的解決方案，那就是，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù) b。 是一個(gè)有效的迭代的方法，以計(jì)算特征值和特征向量獲得的一個(gè)例子，在一些其他的可能性。在實(shí)踐中可行，因?yàn)橄禂?shù)將被污染的不可避免的舍入誤差，多項(xiàng)式的根可以是一個(gè)極為敏感的功能（例如由威爾金森的多項(xiàng)式系數(shù)）直到 QR 算法在1961年的來(lái)臨，高效，精確的方法來(lái)計(jì)算任意矩陣的特征值和特征向量。根據(jù)阿貝爾 魯菲尼定理5個(gè)或5個(gè)以上的多項(xiàng)式的根源是沒(méi)有一般情況下，明確和準(zhǔn)確的代數(shù)公式。陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論》，在方陣階數(shù)很高時(shí)計(jì)算起來(lái)相當(dāng)?shù)姆爆?，趙娜、呂劍峰在《特征值問(wèn)題的 MATLAB 實(shí)踐》中，從實(shí)際案例出發(fā)，利用 MATLAB 《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中，研究了一種只要對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證了它方法的合理性，并闡述該方法的具體求解《由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用》中，研究了已知 n 階對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k1 個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A 《矩陣特征值的理論及應(yīng)用》中，討論了通過(guò) n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用》一文中，很好的討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，、馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系》中，探究了利用矩陣的特征值解決行列式的問(wèn)題.27河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文獻(xiàn)綜述 在國(guó)內(nèi)外有很多關(guān)于特征值與特征向量的研究成果，并且有很多專(zhuān)家學(xué)者涉足此領(lǐng)域、孟世才、許耿在《淺談線性代數(shù)中“特征值與特征向量”的引入》中從線性空間 V 中線性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)，引入矩陣的特征值與特征向量的定義；郭華、劉小明在《特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用》中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算中所起的作用；矩陣的特征值與特征向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階,陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論》論是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的內(nèi)容；當(dāng)方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在《特征值問(wèn)題的 MATLAB 實(shí)踐》中從實(shí)際案例入手，利用 MATLAB 軟件討論了求解特《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中研究了一種只對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟；岳嶸在《由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用》中探究了已知 n 階對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k1 個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A 的計(jì)算方法；張紅玉在《矩陣特征值的理論及應(yīng)用》中討論了通過(guò) n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得出正定矩陣的結(jié)論；劉學(xué)鵬、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用》一文中討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對(duì)角化方面的應(yīng)用；馮俊艷、馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系》中討論了利用矩陣的特征值解決行列式的問(wèn)題等等。其次，了解他的相關(guān)性質(zhì)，并應(yīng)用到解題和相關(guān)的生活中。論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容特征值和特征向量的相關(guān)概念，性質(zhì)。總體的思路很明確，有最基礎(chǔ)的知識(shí)，到相關(guān)書(shū)本上的應(yīng)用，最后來(lái)闡述在生活中現(xiàn)有的實(shí)例，來(lái)證明特征值與特征向量的重要性。而且特征值與特征向量是高等代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)及實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很，通過(guò)實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性與便捷性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值.正文共劃分為三個(gè)大部分，第一部分，是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)的充分總結(jié)。 設(shè)某一動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為 L(單位：年） ，將區(qū)間[0, L]作 n 等分得 n個(gè)年齡組每個(gè)年齡組的長(zhǎng)度為 設(shè)第 i 個(gè)年齡組 的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為αi ，存活率（即第 i 個(gè)年齡組中可存活到第 i+1 個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目與第 i 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總數(shù)之比）為 bi 。于是2 2(3)a0k,??????2?? 必有 的因式，()?因此由 得 a=,?對(duì)于 由 即 ,??()x0,??A121240???????????????，得到線性無(wú)關(guān)的特征向量 用 Schmidt 正交化方12=,(,1).?????（ ）法，現(xiàn)正交化，有8 21122(,)41, 0,50?????????????????????????????再將 單位化，得12, 121,???????????????????對(duì)于 由 即 7,??()x0,???????????????得特征向量 單位化為 3(1,2)???31(,2).???那么，令 即有 12354(,),3205Q??????????12Q=????????3 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、信息科學(xué)、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域