【正文】 and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.[10] However, this approach is not viable in practice because the coefficients would be contaminated by unavoidable roundoff errors, and the roots of a polynomial can be an extremely sensitive function of the coefficients (as exemplified by Wilkinson39。對(duì)于大的的厄密共軛的稀疏矩陣，theLanczos 算法。多項(xiàng)式的根的顯式代數(shù)公式僅當(dāng)存在比率為4以下。論文（設(shè)計(jì)）的基礎(chǔ)條件及研究路線首先，明白相關(guān)的定義，如特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、對(duì)角矩陣等相關(guān)的概念。特征值與特征向量還有很廣泛的用途，本文只是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)，在數(shù)學(xué)矩陣與生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)短的研究歸納。但是 可以由 唯一線性表出來(lái)0?0?21?，213???1,21????????1??2???????10 ????????1410ttttt ????????14ttyxtttyx???????2120??Case??????7130ase11由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)即 由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平. 因無(wú)實(shí)際意義而在 Case 2 中未作討論，但在 Case3 的討論中仍起到了重要作用. 由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型易見(jiàn)，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中成功的被應(yīng)用. 萊斯利（Leslie）種群模型 萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長(zhǎng)之間的關(guān)系。若 即 那么矩陣 A 關(guān)于特征值 的特征向量是=??， ???A（ ） ， ? 123123=+?????????（ ， ， ） 。1） 如果 都是特征值 所對(duì)應(yīng)的特征向量，則 的線性組合 12?， i?12?， 12ka?（非 0 時(shí)）仍是屬于 的特征向量。這是為了更好的利用定義和性質(zhì)來(lái)解決相關(guān)的矩陣習(xí)題；第二部分，是具體的將矩陣分類，按照矩陣的類型與特征值和特征向量的性質(zhì)進(jìn)行匹配，具體的解決問(wèn)題并有相關(guān)的例題。0 ?A0?定義 2，設(shè) 是 n 階矩陣，若存在數(shù) 及非零的 n 維列向量 ，使得A?? ???成立，則稱 是矩陣 特征值，稱非零向量 是矩陣 屬于特征值 的特征向?量。?5）n 階矩陣 A 可逆的充分必要條件是，他的任一特征值均不等于零。5例 2，設(shè) A 是 3 階矩陣， 是 3 維線性無(wú)關(guān)的列向量，且12,? 12312345,0????A???A?求矩陣 A 的特征值和特征向量。于是2 2(3)a0k,??????2?? 必有 的因式，()?因此由 得 a=,?對(duì)于 由 即 ,??()x0,??A121240???????????????，得到線性無(wú)關(guān)的特征向量 用 Schmidt 正交化方12=,(,1).?????（ ）法，現(xiàn)正交化，有8 21122(,)41, 0,50?????????????????????????????再將 單位化，得12, 121,???????????????????對(duì)于 由 即 7,??()x0,???????????????得特征向量 單位化為 3(1,2)???31(,2).???那么，令 即有 12354(,),3205Q??????????12Q=????????3 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、信息科學(xué)、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有，萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型，還有很多相關(guān)的生活實(shí)例，在本文中著重介紹經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長(zhǎng)模型和萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型。而且特征值與特征向量是高等代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)及實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很，通過(guò)實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性與便捷性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值.正文共劃分為三個(gè)大部分，第一部分，是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)的充分總結(jié)。論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容特征值和特征向量的相關(guān)概念，性質(zhì)。陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論》，在方陣階數(shù)很高時(shí)計(jì)算起來(lái)相當(dāng)?shù)姆爆?，趙娜、呂劍峰在《特征值問(wèn)題的 MATLAB 實(shí)踐》中，從實(shí)際案例出發(fā)，利用 MATLAB 《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中，研究了一種只要對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證了它方法的合理性，并闡述該方法的具體求解《由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用》中，研究了已知 n 階對(duì)稱矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k1 個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A 《矩陣特征值的理論及應(yīng)用》中，討論了通過(guò) n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用》一文中，很好的討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，、馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系》中，探究了利用矩陣的特征值解決行列式的問(wèn)題.27河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文獻(xiàn)綜述 在國(guó)內(nèi)外有很多關(guān)于特征值與特征向量的研究成果，并且有很多專家學(xué)者涉足此領(lǐng)域、孟世才、許耿在《淺談線性代數(shù)中“特征值與特征向量”的引入》中從線性空間 V 中線性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)，引入矩陣的特征值與特征向量的定義；郭華、劉小明在《特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用》中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算中所起的作用；矩陣的特征值與特征向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階,陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論》論是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的內(nèi)容；當(dāng)方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在《特征值問(wèn)題的 MATLAB 實(shí)踐》中從實(shí)際案例入手，利用 MATLAB 軟件討論了求解特《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中研究了一種只對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟；岳嶸在《由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用》中探究了已知 n 階對(duì)稱矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k1 個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A 的計(jì)算方法；張紅玉在《矩陣特征值的理論及應(yīng)用》中討論了通過(guò) n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得出正定矩陣的結(jié)論；劉學(xué)鵬、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用》一文中討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對(duì)角化方面的應(yīng)用；馮俊艷、馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系》中討論了利用矩陣的特征值解決行列式的問(wèn)題等等。在實(shí)踐中可行，因?yàn)橄禂?shù)將被污染的不可避免的舍入誤差，多項(xiàng)式的根可以是一個(gè)極為敏感的功能（例如由威爾金森的多項(xiàng)式系數(shù)）直到 QR 算法在1961年的來(lái)臨，高效，精確的方法來(lái)計(jì)算任意矩陣的特征值和特征向量。類似的計(jì)算表明，對(duì)應(yīng)的特征向量是非零的解決方案，那就是，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù) b。3b?Some numeric methods that pute the eigenvalues of a matrix also determine a set of corresponding eigenvectors as a byproduct of the putation.。例如，一旦它是已知的，圖6是矩陣的特征值我們可以找到它的特征向量，通過(guò)求解方程，也就是 ?????????????yx6314該矩陣方程相當(dāng)于兩個(gè)線性方程組的 也就是?????6y3x4?????02x兩個(gè)方程減少到單一的線性方程 .因此，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù)，是一個(gè)y2特征值與特征向量相匹配。因此，5個(gè)或更多的順序的矩陣的特征值和特征向量不能獲得通過(guò)明確的代數(shù)公式，因此，必須計(jì)算的近似數(shù)值方法在理論上，可以精確計(jì)算的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，因?yàn)樗鼈兪蔷仃囋氐目偤停兴惴?