【正文】 故 CxFxxf ??? )(d)(例 6 設(shè) ? ? ,c o ss i n 22 xxf ?? 求 ? ?xf ． 解 由于 ? ? xxxf 222 s i n1c o ss i n ???? ， 所以 ? ? xxf ??? 1 , 故知 )( xf 是 x?1 的原函數(shù) ， Cxxxxxf ????? ? 2d)1()( 2 . 得 思考題 1 ．在不定積分的性質(zhì) ? ?? ?? xxfkxxkf d)(d中 ， 為 何 要求 0?k ？ 2． 思考下列問題： (1) 若 ? ?? ??? ,si n2d Cxxxf x 則 ? ?xf 為何？ (2) 若 )( xf 的一個原函數(shù)為 ,c o s x 則 ? ?? ? xxf d 為何？ 一、 換元積分法 二 、 分部積分法 三、 簡單有理數(shù)的積分 換元積分法和分部積分方法 1． 第一換元積分法 (湊微分法 ) 直接驗證得知 ,計算正確． 例 1 求 xx de 3? . 解 被積函數(shù) x3e 是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式 ，我們可以把原積分作下列變形后計算： ? ?? Cx xx ede?? ?? xuxx xx 3)d ( 3e31de 33 令? ?? Cu uu e31de31 回代 31 Cx ?3e . 例 2 求 xx x de2 2? ． 解 注意到被積式中含有 2e x 項 , 而余下的部分恰有 微分關(guān)系： 22 d d ( )x x x? ．于是類似 于例 1, 可作如下變 換和計算： 一、換元積分法 .eede)(dede2 22222 CCuxuxxx xuuxx ????? ??? 回代令上述解法的特點是引入新變量 )( xu ?? , 從而把原積分化為關(guān)于 u 的一個簡單的積分， 再套用基本積分公式求解 , 現(xiàn)在的問題是，在公式 ? ?? Cx xx ede 中，將 x 換成了 )( xu ?? , 對應(yīng)得到的公式 ? ?? Cu uu ede 是否 還成立 ?回答是肯定的 ,我們有下述定理： 定理 如果 ? ?? CxFxxf )(d)( ，則 .)(d)(? ?? CuFuuf其中 )( xu ?? 任一個可微函數(shù)． 證 由于 ? ?? CxFxxf )(d)( , 所以xxfxF d)()(d ? ．根據(jù)微分 形式不變性 , 則有： uufuF d)()(d ? ．其中 )( xu ?? 是x 的可微函數(shù)，由此得 .)()(dd)(? ? ??? CuFuFuuf 這個定理非常重要，它表明：在基本積分公式中， 自變量 x 換成任一可微函數(shù) )( xu ?? 后公式仍成立． 這就大大擴充了基本積分公式的使用范圍．應(yīng)用這一結(jié)論， 上述例題引用的方法 , 可一般化為下列計算程 序： )()(d)]([d)()]([ xuxxfxxxf ????? ?? ?? 令湊微分 .)]([)(d)( CxFCuFuuf ??? ?回代 這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法． 例 3 求 ? xxx ds i nc o s 2 . 解 設(shè) ,c o s xu ? 得 xxu dsi nd ?? , .c o s3131dds i nc o s 3322? ? ???????? CxCuuuxxx方法較熟悉后 , 可略去中間的換元步驟 , 直接湊微分成積分公式的形式． 例 4 求 ? ? xx x 2ln1 d ． 解 ? ?? ?2 2 2d 1 d 1d l n1 l n 1 l n 1 l na r c s i n l n .xxxxx x x xxC???? ????? ? ???? ? ? 例 5 求 ? xx x ds i n ． 解 ?? ???? Cxxxxxxc o s2ds in2ds in． 湊微分法運用時的難點在于原題并未指明應(yīng)該把哪一部分湊成 )(d x? , 這需要解題經(jīng)驗 , 如果記熟下列一些微分式 , 解題中則會給我們以啟示． ，)(d1d baxax ?? ，)(d21d 2xxx ? ，)(d2dxxx? ，)e(dde xx x ? ，|)|( lndd1xxx? ，)(c o sdds in xxx ?? ，)( s i nddc o s xxx ? ，)( ta ndds e c 2 xxx ? ，)( c o tddc s c 2 xxx ?? ，)( a r c s ind1d2xxx?? )( a r c ta nd1d2xxx??． 下面的例子 ,將繼續(xù)展示湊微分法的解題技巧 ． 例 6 求下列積分： (1) ；)0(d22???axax (2) ；?? 22dxax (3) ；? xx dta n (4) ；xx dc o t? (5) ? ；xx ds e c (6) ? .dc s c xx ??????????????????????????axaxxaxaxaxd11d11d2222 解 （ 1） = .ar c s i n Cax ? 類似得 (2) .ar c t an1d 22 Caxaxa x ???? (3) .|c o s|lnc o s)( c o sddc o ss indt a n ? ?? ?????? Cxxxxxxxx 類似得 (4) .|s i n|lndc o t Cxxx ??? (5) xxx xxxxxx xxxxx ds e ct an t ans e cs e cds e ct an )t an( s e cs e cds e c2? ? ? ???? ?? .|t a ns e c|ln)s e c( t a nd)s e c( t a n 1? ?????? Cxxxxxx類似得 (6) ? ??? Cxxxx |c o tc s c|lndc s c ． 本題六個積分今后經(jīng)常用到，可以作為公式使用． 例 7 求下列積分： (1) ? ? ；xax d122 (2) ? ??；xxxd432(3)1d1e xx??； (4) ? ；xx ds in 2 (5) ??；xxdc o s11(6) ? xxx d3c o s5s in ． 解 本題積分前，需先用代數(shù)運算或三角變換對被 積函數(shù)做適當(dāng)變形． ? ? xaxaxaxax d112 1d11 22 ?? ?????? ?????? ? ? ? ]dd[21 ? ???????axaxaxaxaCaxaxa ????? ]ln[ l n21.ln21 Cax axa ????（ ２） xxxxxxxx d44d3d43222 ? ?? ?????? ? ?22 4d4212a r c s i n3 xxx ????? ?.42ar c s i n3 2 Cxx ????（３） xxx xxxxxx de1e1de1ee1de11 ? ?? ?????????????? ? ?xxx e1de1 1d ???? ? ?? ? .e1ln Cx x ????（４） ? ? ? ????? xxxxxxx d2c o s21d21d2 2c o s1ds i n 2 ? ???? xxx 2d2c o s4121.2s i n4121 Cxx ???（５） ?? ? ????????????????????? 2d2c o s12c o s2ddc o s1122xxxxxx .2ta n Cx ??（６） ? ?? ? ?? xxxxxx d2s i n8s i n21d3c o s5s i n （積化和差） ? ? ? ??????? ?? ? ? xxxx 2d2s i n218d8s i n8121.2c o s418c o s161 Cxx ????例 8 計算積分 ? ? ．2d xx x 解一 ? ?????????????????222121d22141ddxxxxxxx ? ?? ? ? ? .12ar c s i n12112d2? ??????? Cxxx解二 因為 ,d2d xxx ? 所以 ? ? .ar c s i n2)(1d21dd22 Cxxxxxxxxx ???????? ? ? 本題說明 ， 選用不同的積分方法 ， 可能得出不同形式 的積分結(jié)果 ． 例 求 ? ? xdx1 解 被積表達式的分母含有根式，要先作代換去掉根號。xxf)d()d(d )(])d([ ( 1 )????，或 ??????CxFxFCxFxxF39。 )x(f)x(F ?? 已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x), 求原函數(shù) F(x)。第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì) 第二節(jié) 不定積分的積分方法 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 第四節(jié) 微積分基本公式 第五節(jié) 定積分的積分方法 第六節(jié) 廣義積分 第七節(jié) 定積分的應(yīng)用 引入 前面我們研究了一元函數(shù)微分學(xué)的 基本問題，即已知一個可導(dǎo)函數(shù) F(x),求 它的導(dǎo)數(shù) 。 但在實際問題中，常會遇到與此相反的另一類問題。 ()Fx? ? 一、不定積分的基本概念 二 基本公式 三 、 性質(zhì) 第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì) 1． 原函數(shù)的概念 例 因為 1( l n )xx? ? ，故 ln x 是 1x的一個原函數(shù)； 因為 2( ) 2xx ? ? ，所以 2x 是 2 x 的一個原函數(shù)，又 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 2 x? ，所以 2 x 的原函 數(shù)不是惟一的． 原函數(shù)說明： 第一，原函數(shù)的存在問題：如果 ()fx 在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在 ( 將在下章加以說明 ) ． 定義 1 設(shè) ()fx 是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù) ()Fx ，使得 ( ) ( )F x f x? ? 或 d ( ) ( ) dF x f x x? , 則稱 ()Fx 為 ()fx 的一個原函數(shù) ． 一、不定積分的概念 第二，原函數(shù)的一般表達式：前面已指出，若 ()fx 存在原函數(shù)，就不是惟一的，那么，這些原函數(shù)之間有 什么差異？能否寫成統(tǒng)一的表達式呢？對此，有如下結(jié) 論： 定理 若 ()Fx 是 ()fx 的一個原函數(shù)，則 ()F x C? 是 ()fx 的全部原函數(shù)，其中 C 為任意常數(shù)． 證 由于 ( ) ( )F x f