【正文】 ，利用這些性質可以進行期望的運算。 【例 410】已知（ X， Y）的分布律為 11 求：（ 1） E（ 2X+3Y）；（ 2） E（ XY）。 特別情形 10 例 49 求 EX2 【答疑編號： 10040107 針對該題提問】 解 二維隨機變量函數(shù)的期望 定理 43 （ 1）若（ X， Y）為離散型隨機變量，若其分布律為 pij＝ P{X=xi,Y=yi}， 邊緣分布律為 則 （ 2）其（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量， f（ x,y） ,fx（ x） ,fY（ y）分別為 （ X， Y）的概率密度與邊緣概率密度，則 證明略。 定理 42 設 X 為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 fX（ x），又隨機變量 Y=g（ X），則 當 收斂時，有 證明略。 設 其概率密度為 則 X 的期望 E（ X） =μ。 設隨機變量 X 在 [a,b]上服從均勻分布，其概率密度為 則 9 在區(qū)間 [a,b]上服從均勻分布的隨機變量的期望是該區(qū)間中點。 【答疑編號： 10040106 針對該題提問】 解 因為 f（ x）只在有限區(qū)間 上不為零，且在該區(qū)間上為連續(xù)函數(shù)，所以 E（ X）存在，且 根據(jù)奇函數(shù)的性質知道 E（ X） =0。 定義 42 設連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 f（ x），若廣義積分 絕對 收斂，則稱該積分為隨機變量 X 的數(shù)學期望（簡稱期望或均值），記為 EX，即 【例 47】設隨機變量 X 的概率密度為 求 E（ X）。 【答疑編號： 10040104 針對該題提問】 解 =（ 1） 2+02++12+22 =+++=。 【答疑編號： 10040103 針對該題提問】 解 EY=（ 2（ 1） +1） +（ 20+1） +（ 21+1） +（ 22+1） =（ 1） +1+3+5=。 定理 41 設離散型隨機變量 X 的分布律為 P{X=xk}=pk， k=1， 2， … 。 例如 若 X～ B（ 10， ），則 EX=10=8 若 X～ P（ 3），則 EX=3。比如擲硬幣試驗，設出現(xiàn)正面概率若進行 100 次試驗，則可以 “期望 ”出現(xiàn) 次正面，這正是期望這一名稱的來由。 隨機變量 X 的分布律為 其中 0＜ p＜ 1，有 EX=0（ 1p） +1p=p。很明顯乙的成績遠不如甲。 EY=0+1+2=1（分）。 【例 41】設隨機變量 X 的分布律為 求 E（ X） 解 E（ X） =（ 1） +0+1= 【例 42】甲乙兩人進行打靶，所得分數(shù)分別記為 X， Y，它們的分布律分別為 試比較他們成績的好壞。記作 EX，即 說明：（ 1）若 X 取值為有限個 x1， x2， … ， xn 則 （ 2）若 X 取值為可列無限多個 x1， x2， … ， xn… 則 6 這時才要求無窮級數(shù) 絕對收斂。 100 分的頻率小，能正確計算平均值。 【答疑編號： 10040101 針對該題提問】 解：平均分為： 從本例看：平均分并不等于 60、 80、 100 的平均值 80。本章主要研究隨機變量的期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)等數(shù)字特征。 （ 4）會用公式 分別求 X， Y 的概率密度（邊緣密度） （ 5）會根據(jù) X， Y 獨立 判斷連續(xù)型隨機變量 X， Y 的獨立性。N = P1N+P2N+…+p mn 【答 疑編號： 10030405 針對 邊緣分布 提問】 （ 4） X， Y 獨立的充要條件是： 4 X， Y 獨立 P（ X=xi,Y=yj） =P（ X=xi） P（ Y=yj） （ i=1,2,…,M ； j=1,2,…,N ） 判斷離散性隨機變量 X， Y 是否獨立。1 =P11+P21+…p m1， P=P21+P22+…P 2N， … p m （ 1）（ X， Y）～ F（ X,Y） =P（ X≤X,Y≤Y） =P（ ∞＜ X≤X, ∞＜ Y≤Y） （ 2） F（ X,Y）的性質 （ ⅰ ） F（ +∞， +∞） =1 （ ⅱ ） F（ ∞， Y） =0， F（ X， ∞） =0 F（ ∞， ∞） =0 （ 3） X～ FX（ X） =F（ X,+ ∞） Y～ FY（ Y） =F（ +∞,Y） 【答疑編號： 10030404 針對 分布函數(shù) 提問】 （二）離散型二維 隨機變量 （ 1）（ X， Y）的分布律 性質 （ 2） X 的邊緣分布 證明 P1 （ 2） P（ X+Y≤1） 【答疑編號： 10030402 針對該題提問】 解：（ 1） ∵ X， Y 獨立 （ 2） P（ X+Y≤1） 2 兩 個獨立連續(xù)型隨機變量 X， Y 的和函數(shù) Z=X+Y 的概率密度的計算公式為： 若 X， Y 獨立， X～ fX（ X）， Y～ fY（ Y）則有 （不證） 上面公式叫獨立隨機變量和的卷積公式 例 324 設 X， Y 獨立，且 X～ N（ 0， 1）， Y～ N（ 0， 1），求 Z=X+Y 的概率密度。 1 自考高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記 2 事件 ｛ Z=3｝ =｛ X=1， Y=2｝， 所以 從而得出 Z 的分布律為 兩個連續(xù)型隨機變量之和的概率分布 例 323 設 X 與 Y 獨立，且 求（ 1）（ X， Y）的概率密度。 f（ X,Y）。 解：已知 所以 令 ∴ Z～ N（ 0， 2） 相似地，可以證明下面的結果： 定理：若 X， Y 獨立， （不證） 【答疑編號： 10030403 針對該 知識點 提問】 例如 在上例中， X～ N（ 0， 1）， Y～ N（ 0， 1）， X， Y 獨立，則 X+Y～ N（ 0,2） XY～ N（ 0,2） 2X+3Y～ N（ 0,13） 3 又例如 X～ N（ 3,4） , Y～ N（ 1,1） ,X,Y 獨立 則 2XY～ N（ 231,44+（ 1） 21 ） =N（ 5,17） 本章內容小結 （一）知道二維隨機變量的分布函數(shù)的概念和性質。=P11+P12+…P 1N， P2=pm1+pm2+…p mn （ 3） Y 的分布律 證 P2 =P21+P22+…p m2， … P 【答疑編號： 10030406 針對 判斷變量是否獨立 提問】 （ 5）會求 Z=X+Y 的分布律 （三）二維連續(xù)型隨機變量 （ 1）若 已知 f（ X,Y）時，會用上式求 F（ X,Y） 性質 （ 2） 已知 F（ X,Y）時，會用上式求 f（ X,Y） （ 3）會用公式 求（ X， Y）在區(qū)域 D 上取值的概率。 （ 6）知道兩個重要的二維連續(xù)隨機變量 ① （ X， Y）在 D 上服從均勻分布 S 是 D 的面積 則 X， Y 獨立 （ 7）若 X， Y 獨立，且 本章作業(yè) 教材 72 頁 習題 10 教材 79 頁 習題 5 3 提示 4 教材 83 頁 習題 4 84 頁 自測題 第一章 隨機變量的數(shù)字特征 隨機變量的概率分布完整地描述了隨機變量統(tǒng)計規(guī)律，但是在實際問題中求得隨機變量的概率分布并不容易，而且對某些問題來說，只需知道它的某些特征，我們把刻畫隨機變量某些方面特征的數(shù)值稱為隨機變量的數(shù)字特征。 隨機變量的期望 離散型隨機變量的期望 引例 10 人參加考試， 1人得 100分， 6 人得 80 分， 3 人得 60 分，求 10人考度的平均分。這是由于 60分出現(xiàn)的機會多于100 分，上面方法出現(xiàn)了 60 分出現(xiàn)的頻率多。 定義 若 X 的分布律為 P（ X=xi） =pi， i=1， 2… 當級數(shù) 絕對收斂時（即 收斂） 就說 是離散型隨機變量 X 的期望。 很明顯， X 的期望 EX 體現(xiàn)隨機變量 X 取值的平均概念，所以 EX 也叫 X 的均值。 【答疑編號： 10040102 針對該題提問】 解 我們分別計算 X 和 Y 的數(shù)學期望： EX=00+1+2=（分）。 這意味著，如果進行多次射擊，甲所得分數(shù)的平均值接近于 分，而乙得分的平均值接近 1 分。 下面介紹幾種重要離散型隨機變量的數(shù)學期望。 設 X～ B（ n,p），即 可以證明它的期望 EX=np 二項分布的數(shù)學期望 np，有著明顯的概率意義。 設 其分布律為 7 則 X 數(shù)學期望為 EX= 小結上面的結果，有下面公式 分布 EX X～（ 0,1） X～ B（ n,p） X～ P（ λ） p np 今后在上面三種情形下，期望 EX 不必用定義計算，可以直接套用公式 。 下面介紹離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。 令 Y=g（ X），若級數(shù) 絕對收斂，則隨機變量 Y 的數(shù)學期望為 特別情形 【例 45】設隨機變量 X 的分布律為 令 Y=2X+1，求 E（ Y）。 【例 46】設隨機變量 X 的分布律為 且 Y=X2，求 EY。 連續(xù)型隨機變量的期望 對于連續(xù)型隨機變量的期望，形式上可類似于離散型隨機變量的期望給予定義，只需將 8 和式 中的 xi改變 x,pi改變?yōu)?f（ x） dx（其中 f（ x）為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)）以及和號 “Σ”演變?yōu)榉e分號 “∫”即可。 【答疑編號： 10040105 針對該題提問】 解 【例 48】設隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為 求 E（ X） 。 下面介紹幾種重要連續(xù)型隨機變量的期望。 設隨機變量 X 服從參數(shù)為 λ0的指數(shù)分布，其概率密度為 解：在微積分中有 即指數(shù)分布的數(shù)學期望為參數(shù) λ的倒數(shù)。（不證） 上面三種情況列表如下（可以作為公式使用） 分布 EX X～ U（ a,b） X～ E（ λ） X～ N（ μ， σ2） μ 例如 X～ U（ 0,10） 則 X～ E（ 2） 則 下面介紹連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。 這一公式的好處是不必求出隨機變量 Y 的概率密度 fY（ x），而可由隨機變量 X 的概率密度 fX（ x）直接計算 E（ Y），應用起來比較方便。 定理 44 設 g（ X， Y）為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（ X， Y）的函數(shù) g（ X， Y）， （ 1）若（ X， Y）為離散型隨機變量，級數(shù) 收斂，則 （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分 收斂，則 證明略。 【答疑編號： 10040108 針對該題提問】 解 （ 1）由數(shù)學期望定義知 【例 411】設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{ X+Y≤1}。下面列舉的這些性質對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量而言，都可以利用隨機變量函數(shù)的期望與二維隨機變量函數(shù)的期望公式加以證明。