【正文】 　　【答疑編號(hào)：10010113針對該題提問】　?。?）A，B，C中最多有兩個(gè)發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010114針對該題提問】　　解：（1）　?。?）　　（3）　?。?）　　（5）　?。?）簡記AB+AC+BC　?。?）簡記　　例4，若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝　　求（1）A+B；　　【答疑編號(hào)：10010115針對該題提問】　?。?）AB；　　【答疑編號(hào)：10010116針對該題提問】　?。?） ；　　【答疑編號(hào)：10010117針對該題提問】　?。?）；　　【答疑編號(hào)：10010118針對該題提問】　?。?）；　　【答疑編號(hào)：10010119針對該題提問】　?。?）；　　【答疑編號(hào)：10010120針對該題提問】　?。?），　　【答疑編號(hào)：10010121針對該題提問】　?。?） ?！　。?）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010101針對該題提問】　?。?）A，B，C三事件都發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010102針對該題提問】　?。?）A，B，C三事件都不發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010103針對該題提問】　　（4）A，B，C三事件不全發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010104針對該題提問】　?。?）A，B，C三事件只有一個(gè)發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010105針對該題提問】　?。?）A，B，C三事件中至少有一個(gè)發(fā)生　　【答疑編號(hào)：10010106針對該題提問】　　解：（1）　?。?）ABC　?。?）　　（4）　?。?）　　（6）A+B+C　?。篈1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中?！　　　　　?B　　　　　　　　　　事件的運(yùn)算有下面的規(guī)律：A與B互不相容，但不對立。記作　　例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝，則　　顯然，對立事件有性質(zhì)：　　①　　②　?、邸　∽⒁猓篈與B對立，則A與B互不相容，反之不一定成立?！　。ㄋ模┦录倪\(yùn)算　　 　　（1）和事件：事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：或A+B　　例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝　　則和事件A+B=｛1，2，3，5｝　　顯然有性質(zhì)　?、佟　、谌?，則有A+B=B　?、跘+A=A　?。?）積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或A∩B 　　例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，則AB=｛1，3｝　　顯然有性質(zhì)：　?、佟　、谌?，則有AB=A　?、跘A=A　　（3）差事件：事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（AB）　　例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，則AB=｛5｝　　顯然有性質(zhì)：　?、佟　、谌?，則有AB=Φ　　③AB=AAB　?。?）互不相容事件：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ　　例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝　　∴AB=Φ　　所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。　　例如，擲一次骰子，A表示擲出的點(diǎn)數(shù)≤2，B表示擲出的點(diǎn)數(shù)≤3?！　∪炕臼录谢臼录M或叫樣本空間，記作Ω，當(dāng)然Ω是必然事件。　?。ǘ┗荆S機(jī)）事件　　隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫基本隨機(jī)事件，簡稱基本事件，也叫樣本點(diǎn)，習(xí)慣用ω表示基本事件?！　〔豢赡苁录涸谝淮卧囼?yàn)中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用φ表示不可能事件?！　”厝皇录涸谝淮卧囼?yàn)中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用Ω表示必然事件?！　∮捎诒菊n程只討論隨機(jī)事件，因此今后我們將隨機(jī)事件簡稱事件?！　囊慌c引例二可見，有些事件在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結(jié)果，這樣的事件，我們叫隨機(jī)事件?！‰S機(jī)事件　　　　引例一，擲兩次硬幣，其可能結(jié)果有：　?。仙?；上下；下上；下下｝　　則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的?！　?　　排列數(shù)的計(jì)算公式為：　　例如：　　（四）組合（數(shù)）：從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)組成與順序無關(guān)的一組的方法數(shù)叫組合數(shù)，記作或?！　∫话愕赜邢旅娴某朔ㄔ瓌t：　　辦一件事，需分m個(gè)步驟進(jìn)行，其中：　　第一步驟的方法有n1種；　　第二步驟的方法有n2種；　　……　　第m步驟的方法有nm種；　　則辦這件事共有種方法?！　〉谝徊綇谋本┑教旖虻钠囉性纭⒅?、晚三班，記作汽汽汽3　　第二步從天津到上海的飛機(jī)有早、晚二班，記作飛飛2　　問從北京經(jīng)天津到上海的交通方法有多少種？　　【答疑編號(hào)：10000102針對該題提問】　　解：從北京經(jīng)天津到上海的交通方法共有：　?、倨?飛1，②汽1飛2，③汽2飛1，④汽2飛2，⑤汽3飛1，⑥汽3飛2?！　∫话愕赜邢旅娴募臃ㄔ瓌t：　　辦一件事，有m類辦法，其中：　　第一類辦法中有n1種方法；　　第二類辦法中有n2種方法；　　……　　第m類辦法中有nm種方法；　　則辦這件事共有種方法。　　【答疑編號(hào)：10000101針對該題提問】　　解：從北京到上海的交通方法共有火火火飛飛2共5種?！　　　☆A(yù)備知識(shí)　?。ㄒ唬┘臃ㄔ瓌t　　引例一，從北京到上海的方法有兩類：第一類坐火車，若北京到上海有早、中、晚三班火車分別記作火火火3，則坐火車的方法有3種；第二類坐飛機(jī)，若北京到上海的飛機(jī)有早、晚二班飛機(jī)，分別記作飛飛2。共五章，重點(diǎn)第一、二章，數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括樣本與統(tǒng)計(jì)量，參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析。自考高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂筆記前　言　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是經(jīng)管類各專業(yè)的基礎(chǔ)課，概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，它是本課程的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)則從應(yīng)用角度研究如何處理隨機(jī)數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷?！　「怕收摪S機(jī)事件及其概率、隨機(jī)變量及其概率分布、多維隨機(jī)變量及其概率分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征及大數(shù)定律和中心極限定理。重點(diǎn)是參數(shù)估計(jì)。問北京到上海的交通方法共有多少種。它是由第一類的3種方法與第二類的2種方法相加而成?！　。ǘ┏朔ㄔ瓌t　　引例二，從北京經(jīng)天津到上海，需分兩步到達(dá)。共6種，它是由第一步由北京到天津的3種方法與第二步由天津到上海的2種方法相乘32=6生成?！　?　?。ㄈ┡帕校〝?shù)）：從n個(gè)不同的元素中，任取其中m個(gè)排成與順序有關(guān)的一排的方法數(shù)叫排列數(shù)，記作或。　　組合數(shù)的計(jì)算公式為　　例如：=45　　組合數(shù)有性質(zhì)　　 　?。?），（2） ，（3）例如：　　例一，袋中有8個(gè)球，從中任取3個(gè)球，求取法有多少種？　　【答疑編號(hào)：10000103針對該題提問】　　解：任取出三個(gè)球與所取3個(gè)球順序無關(guān)，故方法數(shù)為組合數(shù)　　（種）　　例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√）從中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少種？　　【答疑編號(hào)：10000104針對該題提問】　　解：第一步在5件正品中取2件，取法有　　（種）　　第二步在3件次品中取1件，取法有　?。ǚN）　　由乘法原則，取法共有103=30（種）第一章 隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率　　167。　　引例二，擲一次骰子，其可能結(jié)果的點(diǎn)數(shù)有：　?。?，2，3，4，5，6｝　　則出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的事件A，點(diǎn)數(shù)≤4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件?！　。ㄒ唬╇S機(jī)事件：在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機(jī)事件，習(xí)慣用A、B、C表示隨機(jī)事件?！　‰m然我們不研究在一次試驗(yàn)中，一定會(huì)出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時(shí)在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件?！　±?，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)≤6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件?！　±?，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件?！　±?，擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件，或叫樣本點(diǎn)。　?。ㄈ╇S機(jī)事件的關(guān)系　?。?）事件的包含：若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，就說事件B包含事件A，記作。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝?！　★@然有　?。?）事件的相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實(shí)際上是同一事件。 （5）對立事件：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對立事件。　　例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。　　，其中正方形表示必然事件或樣本空間Ω。 （1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結(jié)合律　　 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC　?。ˋ+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫對偶律　　例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示以下事件。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，請用AAA3的運(yùn)算來表示B0、BBB3　　【答疑編號(hào)：10010107針對該題提問】　　解：（1）　?。?）　　（3）　?。?）　　例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示下列事件?！　　敬鹨删幪?hào)：10010122針對該題提問】　　解：（1）A+B=｛1，2，3，5｝；　　（2）AB=｛1，3｝；　?。?）=｛2，4，6｝；　　（4）=｛4，5，6｝；　?。?）=｛4，6｝；　　（6）=｛2，4，5，6｝；　?。?）=｛2，4，5，6｝；　?。?）=｛4，6｝　　由本例可驗(yàn)算對偶律，=，=正確　　例5，（1）化簡；　　【答疑編號(hào)：10010123針對該題提問】　?。?）說明AB與是否互斥　　【答疑編號(hào)：10010124針對該題提問】　　解：（1）　　　?。?）　　　　，B，C為三事件，說明下列表示式的意義?！　　郃B表示至少A與B都發(fā)生的事件　　（4）　　　　所以也可以記AB表示，ABC與 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件?！　　敬鹨删幪?hào)：10010129針對該題提問】　　解：（1）表示至少A，B發(fā)生　　　　它表示A，B，C三事件中至少發(fā)生二個(gè)的事件?！　∫蚨鼈儾幌嗤?。　隨機(jī)事件的概率　　　　?。ㄒ唬╊l率：（1）在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了nA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。例如從上表可見拋硬幣試驗(yàn)，正面出現(xiàn)的事件A的頻率fn（A）?！　〈致缘卣f，我們可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P（A）就是事件A發(fā)生的可能性的大小，這種說法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用?！　±纾瑪S一次骰子，它的可能結(jié)果只有6個(gè)，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以相等，這種試驗(yàn)是古典概型?！　　敬鹨删幪?hào)：10010201針對該題提問】　　解：樣本空間為Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝　　∴n=6,r=3　　 　　，設(shè)A表示恰有一次出現(xiàn)正面，B表示三次都出現(xiàn)正面，C表示至少出現(xiàn)一次正面，求：　?。?）P（A）；　　【答疑編號(hào)：10010202針對該題提問】　?。?）P（B）；　　【答疑編號(hào)：10010203針對該題提問】　?。?）P（C）　　【答疑編號(hào)：10010204針對該題提問】　　解：樣本空間Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；　?。?） 　?。?）　?。?） 　　　　由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的計(jì)算公式只需知道樣本空間中的樣本點(diǎn)的總數(shù)n和事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)r就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn)，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較多或難于一一列舉的時(shí)候，也可以用分析的方法求出n與r的數(shù)值即可。　　【答疑編號(hào)：10010205針對該題提問】　　解：從10個(gè)不同數(shù)碼中，任取3個(gè)的結(jié)果與順序無關(guān)，所以基本事件總數(shù) 　　 　　A事件中不能有0和5，所以只能從其余8個(gè)數(shù)碼中任取3個(gè)，所以A中的基本事件 　　　　　　例4，從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，放回后再取一個(gè)，求所取兩個(gè)數(shù)字不同的事件A的概率?！　　敬鹨删幪?hào)：10010210針對該題提問】　　解：袋中共的8個(gè)球，從中任取2個(gè)球結(jié)果與順序無關(guān)，所以取法共有種，每一種取法的結(jié)果是一個(gè)基本事件，所以基本事件總數(shù)為　　　　（1）分兩步取?！　　　。?）從5個(gè)白球中任取2個(gè)，結(jié)果與順序無關(guān)　　∴取法共有（種）　　∴B包含的基本事件共有r2=10 　　　?。?）從3個(gè)紅球中任取2個(gè)的方法為（種）　　∴C包含的基本事件數(shù)r3=3　　∴ 　　　　（4）所取2個(gè)球顏色相同的有兩類：　　第一類：2個(gè)球都是白球的方法有（種） 　　第二類：2個(gè)球都是紅球的方法有（種）　　根據(jù)加法原則，所取2個(gè)球是顏色相同的方法共有10+3=13種?！　　唷　±?，袋中有10件產(chǎn)品，其中有7件正品，3件次品，從中每次取一件，共取兩次，√√√√√√√　　求:　?。?）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是10種，由乘法原則知抽取方法共有1010=100種，所以基本事件總數(shù)　　n=1010=100　　第一次取正品方法有7種，第二次取次品的方法有3種，由乘法原則，事件B包含的基本事件共有　　 　　例7，將一套有1,2,3,4,5分冊的5本書隨機(jī)放在書架的一排上，求1，2分冊放