【正文】 品的月銷售數(shù)可以用參數(shù)為 的泊松分布來描述，為了以 95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底（假定上月無存貨）至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？ ?解 設(shè)該商店每月銷售該商品 件，月底進(jìn)貨為件，則當(dāng)滿足 時(shí)就不會(huì)脫銷，因而依題意應(yīng)有 ?即 X10??aXa?( ) 0 . 9 5P X a??10010 0 . 9 5!kakek ???? ?又附表 2知 ?所以，該店在月底進(jìn)貨 15件即可以 95%以上的把握保證下月不會(huì)脫銷． 14 10010 0 . 9 1 6 6 0 . 9 5!kkek ?????15 10010 0 . 9 5 1 3 0 . 9 5!kkek ?????泊松分布的圖形 二項(xiàng)分布的圖形 二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系 – 定理 在 重貝努利試驗(yàn)中，事件 發(fā)生的次數(shù) 服從二項(xiàng)分布 .假設(shè)每次試驗(yàn)中事件 發(fā)生的概率為 ，且 則對(duì)任何非負(fù)數(shù) ，有 n AAX( 0 1 )nnpp?? l i m ( 0 )nn np ???? ??kl im { } l im ( 1 ) !kk k n kn n nnnP X k C p p ek????? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ 27） ?在實(shí)際應(yīng)用中， 一般為有限數(shù)，因而泊松定理的典型模式為： ?在 重貝努利概型中，若 ，當(dāng) 充分大而 相對(duì)較小時(shí)， 近似服從參數(shù) 的泊松分布，即 （ 28） ?一般地，當(dāng) 時(shí)即可使用公式（ 28），將二項(xiàng)分布用泊松分布來逼近 . nnn ( , )X B n pp np??X(){ } .!kk k n k npnnpP X k C p q ek??? ? ? ? ?1 0 0 , 0 .1np?? ?例 某保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)，需要計(jì)算各種各樣的概率，下面是較典型的問題之一：若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率均等于，現(xiàn)有 1600人參加了這類保險(xiǎn)，試求未來一年內(nèi)在這些保險(xiǎn)者中， ?（ 1）有 15人死亡的概率； ?（ 2）死亡人數(shù)不超過 20的概率 . ?解 令 表示未來一年內(nèi)這些參保者中的死亡人數(shù)，則 .由于 比較大而 相對(duì)較小，而 ，所以直接利用公式（ 28）并查附表 2得 ?（ 1） ?（ 2） X(1 6 0 0 , 0 . 0 0 5 )XB n 0 .0 0 5p ?8np?1 5 1 5 1 5 8 51600( 1 5 ) 0 . 0 0 5 0 . 9 9 5P X C? ? ? ?1588 0 .0 0 9 0 2 6 .1 5 ! e???20 160016000( 2 0 ) 0 . 0 0 5 0 . 9 9 5k k kkP X C ??? ? ? ??20 808 0 . 9 9 9 9 0 7 .!kkek ??? ? ?? ?例 某車間有 100名職工，如果該車間職工的缺勤率為 1%，試求某一天至少有 2個(gè)人缺勤的概率 . ?解 設(shè)一天內(nèi)職工的缺勤人數(shù)為 ，則有 ?于是 ?由于 ，可用公式（ 28）近似計(jì)算，得 X(1 0 0 , 0 .0 1 )XB0 0 1 0 0 1 1 9 91 0 0 1 0 0{ 2 } 1 { 0 } { 1 }1 (0 . 0 1 ) (0 . 9 9 ) (0 . 0 1 ) (0 . 9 9 ) .P X P X P XCC? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 0 0 0 . 0 1 1np ? ? ?01 111 1 2( 2) 1 1 6.0 ! 1 !P X e e e??? ? ? ? ? ? ?*5. 幾何分布 1 1 , 2 ,{ } , ( 1 )k kP X k q p q p? ?? ? ? ?（ 1）概率分布 X ~ G ( p )記 作（ 2） 應(yīng)用背景：描述伯努利實(shí)驗(yàn)序列中， 事件 A (P(A)=p)首次出現(xiàn)為止所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù) . ( 4 ) 幾 何 分 布 的無 記 憶 性 特 征 性 質(zhì){ | } { }P X m n X m P X n? ? ? ? ?{}{ | }{}P X m nP X m n X mP X m??? ? ? ??證 明1111kk m nkkmqpqp??? ? ????????nq? {}P X n??( 1 )( 1 )mnmq p qq p q? ??? – 5. 超幾何分布 – 定義 如果離散型隨機(jī)變量 的概率分布為 – 其中 為自然數(shù)且 ，則稱 服從參數(shù)為 的 超幾何分布 . X12{ } , 0 , 1 , ,m n mNNnNCCP X m m nC?? ? ?（ 29） 12,n N N12,n N N12 ,1N N N N n? ? ? ?X ?注意 ，若出現(xiàn) 或 的情況，規(guī)定此時(shí)的 . ?應(yīng)用組合公式（ 3）容易驗(yàn)證式（ 29）滿足 ?又 是顯然的，所以式（ 29）滿足概率分布的兩個(gè)性質(zhì) . ?超幾何分布的典型模式是： 個(gè)不同的元素分為兩大類，其中第一類元素有 個(gè)，第二類元素有 個(gè) 從 個(gè)元素中一次取出 個(gè) 元素（不重復(fù)抽取） . 表示 個(gè)元素所含第一類元素的個(gè)數(shù)，則事件 發(fā)生的概率即為式（ 29） . 1mN? 2n m N??12 0m n mNNCC ???0{ } 1nmP X m????{ } 0P X m??N1N 2N 12()N N N??N n (1 )nN??X n{}Xm? ?例 一批產(chǎn)品 20件，其中有 3件優(yōu)質(zhì)品，從中一次抽取 4件產(chǎn)品，被取到的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品件數(shù)記為 ，試寫出 的概率分布 . ?解 由題意知， 服從超幾何分布，且 由式（ 29）可計(jì)算出 見下表 . ?超幾何分布與二項(xiàng)分布有如下關(guān)系： 表 25 XXX 123 , 17 , 4N N n? ? ?{ } , 0 , 1 , 2 , 3 .P X m m?? – 定理 若隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的超幾何分布，則對(duì)于固定的 ，當(dāng) 時(shí)，有 – 其中 ， 且 . X12,n N Nn 1limN N pN?? ?12l im { } l imm n mNN m m n mnnNNNCCP X m C p qC??? ? ? ?? ? ? ? ?（ 210） 12N N N?? 1Nn?? 1qp?? ?例 一袋種子有 10000粒，該種子的發(fā)芽率為96%，從中任取 100粒進(jìn)行試驗(yàn)，計(jì)算恰好有 1粒沒有發(fā)芽的概率 . ?解 令 表示 100粒中未發(fā)芽的種子數(shù)，則 服從超幾何分布， ， ， .由于 很大，盡管 ，但相對(duì)于 仍然是小的 .因而由定理： ?另一方面 ，由于 較大而 較小，因而二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似計(jì)算，其中 .查附表 2得 X X10000N ?1 400N ? 100n ?N100n ? N1 9 9100{ 1 } 0 . 0 4 0 . 9 6 0 . 0 7 0 2 9 3 .P X C? ? ? ? ?100n ? ?4np? ??144{ 1 } 73 26 3.1!P X e?? ? ?167。第 2章 隨機(jī)變量及其分布 第六節(jié) 隨機(jī)變量的 數(shù)學(xué)期望 第七節(jié) 隨機(jī)變量的方差 167。 隨機(jī)變量的概念與分類 ? 隨機(jī)變量的概念 ?先看幾個(gè)例子 . ?例 擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和 . ?解 用 表示擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，則 的可能取值是 2， 3， … ， 12等 11個(gè)值 . X X ?例 從某電子元件廠生產(chǎn)的電子元件中，任意抽取一個(gè)電子元件，檢查它的使用壽命 . ?解 用 表示其使用壽命，則 的可能取值應(yīng)為非負(fù)實(shí)數(shù)，即 . ?例 觀察某網(wǎng)站在單位時(shí)間內(nèi)的點(diǎn)擊次數(shù) . ?解 用 表示某網(wǎng)站在單位時(shí)間內(nèi)收到的點(diǎn)擊次數(shù) ，則 的可能取值是 . XXXX{ | 0}XX ?0 ,1, , n , ?例 拋一枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況 . ?解 令 表示 {正面向上 }， 表示 {反面向上 }，這樣，該試驗(yàn)的結(jié)果就可以用 的取值來描述，或?qū)懗扇缦滦问剑? ? ?例 一批產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、次品和廢品三個(gè)等級(jí)，從中任意抽取一件檢驗(yàn)其質(zhì)量等級(jí) . ?解 分別以 ， ， 表示抽到了優(yōu)質(zhì)品、次品和廢品三種情況，則該試驗(yàn)的結(jié)果就可以用的取值來描述 . ?事實(shí)上，對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的各種基本結(jié)果都可以用數(shù)值來描述之 . { 1}X ? { 0}X ?1,0,X?? ??正 面 向 上反 面 向 上 .{ 2}X ? { 1}X ? { 0}X ?X? R)(?X實(shí)數(shù)?按一定法則 ??? ?:X,)( ) , )( va r ) . . ..PXPran do m iabl rve X?? ? ? ? ?定 義 在 概 率 空 間 ( 上 ， 取 值 為 實(shí) 數(shù)的 函 數(shù) （ ） , 稱 為 ( 上 的 一 個(gè)隨 機(jī) 變 量 簡(jiǎn) 記 為 注：（ 1）隨機(jī)變量通常用大寫字母 X,Y,Z,… 或小寫希臘字母 ?,η, ζ, … .等表示 . 隨機(jī)變量的概念 （ 2）隨機(jī)變量的特點(diǎn) 定義域 樣本空間 ? 隨機(jī)性 . X 的可能取值不止一個(gè) , 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能取值，但不 能預(yù)知取哪個(gè)值 概率特性 X 以一定的概率取某個(gè)值 . 分類 離散型 (.) 非離散型 (.) 其中一種重要的類型為 連續(xù)性 .(.) 167。 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 ?先看下述例子： ?假設(shè)某城市人口中年齡的頻率分布表如 26所示（假設(shè)年齡這個(gè)隨機(jī)變量的取值充滿區(qū)間（ 0，90]）： 表 26 ?其中每一個(gè)矩形的面積等于隨機(jī)變量落入其底部區(qū)間的頻率，如以區(qū)間 [30,40]為底的矩形的面積等于從 30～ 40歲這個(gè)年齡組的人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的百分?jǐn)?shù)，即 15%. ?如果將上述平滑曲線定義為一個(gè)函數(shù) ，則由定積分的知識(shí)得：對(duì)于任意的 ，定積分表示以 為底，以曲線 為曲邊的曲邊梯形的面積，亦即年齡位于 與 之間的人口數(shù)量占總?cè)丝跀?shù)量的百分比，又表示隨機(jī)變量 的取值位于 與 之間的概率 .很明顯 具有以下性質(zhì)： ?可見， 反映了該城市人口中的年齡分布狀況，不妨稱其為年齡密度函數(shù) .將以上思想一般化，引入如下概念 . ()y f x?(0 , 9 0 ]ab ?、 ()ba f x dx?[ , ]ab ()y f x?aabbX{}P a X b?? ()fx(