【正文】 eighted LS/TSLS選項在 Weighted 項后填寫權數(shù)序列名，單擊 OK。t |乘原模型的兩邊，得到一個新模型，采用普通最小二乘法估計新模型。t |序列作為權，進行估計得到參數(shù)估計量。t ； 2． 建立 wi =1/| 如果確實存在異方差性 ， 則被有效地消除了；如果不存在異方差性 ， 則加權最小二乘法等價于普通最小二乘法 。 R2下降，但是，并不能直接比較 R2 ，因為因變量已經(jīng)發(fā)生了變化。 iii uxy ??? ??ii xy 2 3 ??19 20 對住房支出模型進行異方差修正，然后進行估計。 假設住房支出模型為 其中 :yi是住房支出， xi是收入。在矩陣概念下，令權數(shù)序列 w 在權數(shù)矩陣W的對角線上，其他地方是零，即 W 矩陣是對角矩陣， y 和 X是因變量和自變量矩陣。這時可以采用權數(shù)序列為 w 的加權最小二乘估計來修正異方差性。 加權最小化殘差平方和為： （ ） 由此獲得的估計量就是權重序列為 { wi}的加權最小二乘估計量。各不同方法的異方差形式和輔助回歸方程： ① BreuschPaganGodfrey (BPG)異方差檢驗方法 ， ② Harvey異方差檢驗 ， ③ Glejser異方差檢驗 ， iiii u ?? ???? αz22 ~? )(22 αz ii h ?? ??)e x p (2 αz ii ??? iiiu ???? αz)~l n ( 2mii )( 22 αz ??? ??iiiu ???? αz~16 167。 22 ~ kRN ??14 例 ： 人均家庭交通及通訊支出 (CUM)和可支配收入(IN )的回歸方程的 White 異方差檢驗的結果： 該結果 F 統(tǒng)計量和 Obs*R2 統(tǒng)計量的 P值均很小，表明拒絕原假設，即殘差存在異方差性。 White檢驗的另外一種形式，就是輔助回歸中不包含交叉項。 如果原模型中包含的解釋變量較多，那么輔助回歸中將包含太多的變量，這會迅速降低自由度。 如果計算的 ?2值大于給定顯著性水平對應的臨界值 ， 則可以拒絕原假設 ， 得出存在異方差的結論 。White檢驗的原假設：不存在異方差性 （ 也就是 ， 式 （ ）中除 ?0以外的所有系數(shù)都為 0成立 ） 。i 是殘差 。 12 檢驗統(tǒng)計量是通過利用解釋變量所有可能的交叉乘積對殘差進行回歸來計算的。 普通最小二乘估計雖然在存在異方差性時是一致的 ， 但是通常計算的標準差不再有效 。 10 ~ei2 ~ei2 X X 同方差 遞增異方差~ei2 ~ei2 X X 遞減異方差 復雜型異方差11 2. White異方差性檢驗 White (1980) 提出了對最小二乘回歸中殘差的異方差性的檢驗 。于是有 () 22 )()v a r(iii euEu ??即用 ei2 來表示隨機誤差項的方差。 異方差檢驗 1. 圖示檢驗法 (1) 用 XY的散點圖進行判斷 觀察是否存在明顯的散點擴大、縮小或復雜型趨勢（即不在一個固定的帶型域中） 9 （ 2） X 因此懷疑存在異方差或者已經(jīng)檢測到異方差的存在，則采取補救措施就很重要。如果我們把回歸方程中得到的殘差對各個觀測值作圖，則可以清楚地看到這一點。 異方差 5 變量 可支配收入 交通和通訊支出 變量 可支配收入 交通和通訊支出 地區(qū) IN CUM 地區(qū) IN CUM 甘 肅 山 西 寧 夏 吉 林 河 南 陜 西 青 海 江 西 黑龍江 內蒙古 貴 州 遼 寧 安 徽 湖 北 海 南 新 疆 河 北 四 川 山 東 廣 西 湖 南 重 慶 江 蘇 云 南 福 建 天 津 浙 江 北 京 上 海 廣 東 表 1 中國 1998年各地區(qū)城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭可支配收入及交通和通訊支出 單位：元 6 例 ： 我們研究人均家庭交通及通訊支出 (cum)和可支配收入 (in)的關系 ， 考慮如下方程 ： cumi=?0 + ?1ini + ui 利用普通最小二乘法 ， 得到如下回歸模型 ： cumi= + ?ini () () () R2= .= 7 從圖形上可以看出，平均而言，城鎮(zhèn)居民家庭交通和通訊支出隨可支配收入的增加而增加。 又如在分析家庭支出模式時 ， 我們會發(fā)現(xiàn)高收入家庭通常比低收入家庭對某些商品的支出有更大的方差 。 例如我們調查不同規(guī)模公司的利潤 ， 會發(fā)現(xiàn)大公司的利潤變化幅度要比小公司的利潤變化幅度大 ， 即大公司利潤的方差比小公司利潤的方差大 。 用符號表示異方差為 E(ui2) = ?i2 。即 0),( ?iji uxC o v j = 1 , 2 , … , k , i = 1 , 2 , … , N 4 古典線性回歸模型的一個重要假設是總體回歸方程的隨機擾動項 ui 同方差 ， 即他們具有相同的方差 ? 2。 5．隨機誤差項服從 0均值、同方差的正態(tài)分布。即 0)( ?iuE 2)( ??iuV a r i = 1 , 2 , … , N 即隨機誤差項的方差是與觀測時點 t無關的常數(shù)； 3．不同時點的隨機誤差項互不相關（序列不相關），即 0),( ?? sii uuC o v s ≠ 0, i = 1 , 2 , … , N 3 當隨機誤差項滿足假定 1 ~ 4時，將回歸模型”稱為“標準回歸模型”，當隨機誤差項滿足假定 1 ~ 5時，將回歸模型稱為“標準正態(tài)回歸模型”。 本章中某些估計方法中含有 AR和 MA誤差項，這些概念將在第五章中深入介紹。1 第四章 其他回歸方法 本章討論加權最小二乘估計 ， 異方差性和自相關一致協(xié)方差估計 ， 兩階段最小二乘估計 （ TSLS） ， 非線性最小二乘估計和廣義矩估計 （ GMM） 。 這里的大多數(shù)方法在第十二章的聯(lián)立方程系統(tǒng)中也適用 。 2 線性回歸模型的基本假設 ikikiit uxxxy ?????? ???? ?22110i = 1 , 2 , … , N 在普通最小二乘法中 ， 為保證參數(shù)估計量具有良好的性質 ，通常對模型提出若干基本假設： 1． 解釋變量之間互不相關； 2．隨機誤差項具有 0均值和同方差。如果實際模型滿足不了這些假定，普通最小二乘法就不再適用，而要發(fā)展其他方法來估計模型。即 ),0( 2?N~ iu i = 1 , 2 , … , N 4．隨機誤差項與解釋變量之間互不相關。 如果隨機擾動項的方差隨觀測值不同而異 ， 即 ui 的方差為 ?i2， 就是異方差 。 異方差性在許多應用中都存在 ， 但主要出現(xiàn)在截面數(shù)據(jù)分析中 。 利潤方差的大小取決于公司的規(guī)模 、產(chǎn)業(yè)特點 、 研究開發(fā)支出多少等因素 。 167。但是，值得注意的是：隨著可支配收入的增加，交通和通訊支出的變動幅度也增大了，可能存在異方差。 異方差的存在并不破壞普通最小二乘法的無偏性，但是估計量卻不是有效的，即使對大樣本也是如此，因為缺乏有效性，所以通常的假設檢驗值不可靠。 8 167。i2的散點圖進行判斷 首先采用 OLS方法估計模型，以求得隨機誤差項 u的方差 ?i2的 估計量 (注意，該估計量是不嚴格的 )，我們稱之為“近似估計量”，用 ei2 表示。用 解釋變量 x 和 ei2的散點圖進行 觀察是否隨著 x增加，出現(xiàn)方差的逐漸增加、下降或者不規(guī)則變化。 包括有交叉項和無交叉項兩種檢驗 。 如果發(fā)現(xiàn)存在異方差性 ， 利用加權最小二乘法可以獲得更有效的估計 。例如：假設估計如下方程 () 式中 b是估計系數(shù) ， 檢驗統(tǒng)計量基于輔助回歸： () EViews顯示兩個檢驗統(tǒng)計量： F統(tǒng)計量和 Obs*R2 統(tǒng)計量 。 iiii uzxy ???? 321 ???iiiiiiii zxzxzxu ??????? ??????? 524232102?13 White證明出： （ ） 其中： N是樣本容量 ， k為自由度 ， 等于式 （ ） 中解釋變量個數(shù) （ 不包含截距項 ） 。也就是說 ， 回歸方程 （ ） 的 R2越大 ， 說明殘差平方受到解釋變量影響越顯著 ， 也就越傾向于認為存在異方差 。因此，在引入變量太多時，必須謹慎一些。 因此 White檢驗有兩個選項：交叉項和無交叉項。 15 由于假設的異方差形式不同，使用的輔助回歸也不同，導致了不同的檢驗方法。 加權最小二乘估計 1．方差已知的情形 考慮一個一元回歸線性方程： （ ） 假設已知隨機誤差項的真實的方差 ， var(ui)=?i2， 則令wi=1/?i， 將模型兩端同乘 wi， 變換為 （ ） 令 ui*=wiui， 則 （ ） 因此 ， 變換后的模型 （ ） 不再存在異方差的問題 ， 可以用 OLS估計 。 iii uxy ??? 10 ?? Ni ,2,1 ??iiiiiii uwxwwyw ??? )(10 ??1/)v a r ()v a r ()v a r ( 2* ??? iiiii uuwu ?2102 )()( bxbywSiiii ??? ?b17 假設有已知形式的異方差性，并且 有序列 w， 其值與誤差標準差的倒數(shù)成比例 。對加權最小化殘差平方和得到估計結果 : 22 )()( βxβiiii ywS ?? ?其中 ? 是 k ?1維向量。則加權最小二乘估計量為： （ ） 估計協(xié)方差矩陣為： （ ） WyWXWXWXb ????? ? 1)(W L S12 )(? ???? WXWXΣ sW L S18 例 加權最小二乘估計 本例考慮對由四組家庭住房支出和年收入組成的截面數(shù)據(jù)進行研究 (