【正文】 2(,)2( 22221nQnQ ee?? ?? 回歸系數的置信區(qū)間 檢 驗 四、可線性化的一元非線性回歸 （曲線回歸） 例 2 出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕， 容積不斷增大 .我們希望知道使用次數與增大的容積之間的關 系 .對一鋼包作試驗，測得的數據列于下表： 使用次數 增大容積 使用次數 增大容積234567896. 428. 209. 589. 509. 7010. 009. 939. 991011121314151610. 4910. 5910. 6010. 8010. 6010. 9010. 76解答 此即 非線性回歸 或 曲線回歸 問題 （ 需要配曲線 ） 配曲線的一般方法是： 先對兩個變量 x 和 y 作 n 次試驗觀察得 niyxii , .. .,2,1),( ?畫出散點圖， 根據散點圖確定須配曲線的類型 . 然后由 n 對試驗數據確定每一類曲線的未知 參數 a 和 b . 采用的方法是通過變量代換把非線性回歸化成線性回歸，即采用 非線性回歸線性化的方法 . 散 點 圖 2 4 6 8 10 12 14 1667891011問題 （ 需要配曲線 ）曲線回歸 通常選擇的六類曲線如下： （ 1 ） 雙曲線 xbay ??1（ 2 ） 冪函數曲線 y = a bx , 其中 x 0 , a 0 （ 3 ） 指數曲線 y = a e bx 其中參數 a 0 . （ 4 ） 倒指數曲線 y = a /e bx 其中 a 0 ， （ 5 ） 對數曲線 y = a + b l o g x ,x 0 （ 6 ） S 型曲線 1 exy ab ?? ? 返回 解例 2. 由散點圖我們選配到 指數曲線 y = a /e bx 根據線性化方法，算得 , ??? Ab 由此 ?? e 1 1 .6 7 8 9Aa ?? 最后得 1 . 6 7 8 9 e xy ?? 一、數學模型及定義 一般稱 2( ) 0 , C O V ( , )nYXEI??? ? ? ???????? 為高斯 馬爾可 夫線性模型 ( k 元線性回歸模型 ) ， 并簡記為),( 2 nIXY ?? 12nyyYy?????????????，11 12 121 22 2121 .. .1 .. .1 .. .kkn n nkx x xx x xXx x x?????????，01k?????????????????，12n????????????????? kk xxy ??? ???? . ..110 稱為 回歸平面方程 . 返回 線性模型 ),( 2nIXY ??考慮的主要問題是 ： （ 1 ） 用試驗值（樣本值）對未知參數 ? 和 2? 作點估計和假設檢驗，從而建立 y 與kxxx , . . . , 21之間的數量關系； （ 2 ）在 ,. .. ,0022022 kk xxxxxx ???處對 y 的值作預測與控制，即對 y 作區(qū)間估計 . 二、模型參數估計 1 ．對 i? 和 2? 作估計 用最小二乘法求k?? ,...,0的估計量：作離差平方和 ? ????????niikkii xxyQ12110 ... ??? 選擇k?? ,...,0使 Q 達到最?。? 得到的 i?? 代入回歸平面方程得： kk xxy ??? ?...?? 110 ????稱為 經驗回歸平面方程 . i?? 稱為 經驗回歸系數 . 注意 ： ?? 服從 p +1 維正態(tài) 分 布， 且為?的無偏估計，協方差陣 為 C2? . C = L 1= (c ij ), L = X T X 解得估計值 ? ? ? ? Y X X X T T 1 ? ? ? ? 2 . 多項式回歸 設變量 x 、 Y 的回歸模型為 ????? ?????? pp xxxY .. .2210 其中 p 是已知的，),2,1( pii ???是未知參數， ? 服從正態(tài)分布 ),0( 2?N. 令 ii xx ? ， i =1 ， 2 ， … ， k 多項式回歸模型變?yōu)槎嘣€性 回歸模型 . 返回 kk xxxY ???? ????? ...2210稱為 回歸多項式 . 上面的回歸模型稱為 多項式回歸 .三、多元線性回歸中的檢驗 1 ． 線性模型和回歸系數的檢驗 假設 0 0 1:0 kH ? ? ?? ? ? ? （ Ⅰ ） F 檢驗法 （ Ⅱ ） r 檢驗法 定義eyy QUULUR???為 y 與 x 1 , x 2 ,..., x k 的 多元相關系數 或 復相關系數 ． 由于2211RRkknF???? ，故用 F 和用 R 檢驗是等效的． 當 H 0 成立時，)1,(~)1/( / ????? knkFknQ kUFe 如果 F F 1 α （ k ， n k 1 ），則拒絕 H 0 ，認為 y 與 x 1 , ? , x k 之間顯著 地有線性關系；否則就接受 H 0 ，認為 y 與 x 1 , ? , x k 之間線性關系不 顯著 . 其中 ? ?????nii yyU12? （ 回歸平方和） ?? ??ni iie yyQ 12)?( (殘差平方和 ) 四、逐步回歸分析 （ 4）“有進有出”的逐步回歸分析 . （ 1）從所有可能的因子（變量）組合的回歸方程中選擇最優(yōu)者； （ 2）從包含全部變量的回歸方程中逐次剔除不顯著因子； （ 3）從一個變量開始，把變量逐個引入方程； 選擇“最優(yōu)”的回歸方程有以下幾種方法： “最優(yōu) ” 的回歸方程 就是包含所有對 Y有影響的變量 , 而不包含對 Y影響不顯著的變量回歸方程 . 以第四種方法，即 逐步回歸分析法 在篩選變量方面較為理想 . ? 這個過程反復進行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止 . 逐步回歸分析法 的思想： ? 從一個自變量開始，視自變量 Y對作用的顯著程度，從大到小地依次逐個引入回歸方程 . ? 當引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉 . ? 引入一個自變量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步 . ? 對于每一步都要進行 Y值檢驗，以確保每次引入新的顯