【正文】 對于這個(gè)未知函數(shù)的估計(jì)通?？梢圆捎煤斯烙?jì)和近。本節(jié)中將要對非參數(shù)回歸模型作初步的介紹。 105 非參數(shù)回歸模型 前面介紹的回歸模型，無論是線性形式還是非線性形式，都需要明確地給出被解釋變量和解釋變量之間的關(guān)系，才能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)進(jìn)而利用模型的估計(jì)結(jié)果分析問題。默認(rèn)狀態(tài)下，只比較 25%、 50%、75%三種情形，當(dāng)然也可以自行設(shè)定。下面一欄中可以設(shè)定在何種分位數(shù)下估計(jì)模型，系統(tǒng)默認(rèn)數(shù)值是 10分位數(shù)，即對因變量的 10%、 20%、一直到 90%分位數(shù)情形分別估計(jì)系數(shù)，如果輸入 20，則對因變量的 5%、10%、一直到 95%分位數(shù)情形分別估計(jì)系數(shù)?？梢赃x擇結(jié)果輸出 (“output”)的顯示方式，即表格 (“table”)或者圖形 (“graph”)，默認(rèn)狀態(tài)是以表格形式顯示系數(shù)估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)差、 t檢驗(yàn)值和 p值。而在分位數(shù)過程（“ Quantile process”）里，提供了分位數(shù)回歸中特有的三個(gè)功能：過程系數(shù)（“ Process Coefficients”）、斜率相等檢驗(yàn)（“ Slope Equality Test”）和對稱檢驗(yàn)（“ Symmetric Quantiles Test”）。最下方顯示了擬合優(yōu)度和調(diào)整值、稀疏度數(shù)值、目標(biāo)函數(shù)的最小值（“ objective”）、僅包含常數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的最小值（“ Objective (const. only)）、因變量序列的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)（“ Quantile dependent var”）、擬似然比檢驗(yàn)值（“ QuasiLR statistic”）和相應(yīng)的 p值（“ Prob(QuasiLR stat)”）等。 101 例 (以 )： 2. 分位數(shù)回歸的輸出結(jié)果 Dependent Variable: LOG(CSP) Method: Quantile Regression (tau = ) Coefficient Std. Error tStatistic Prob. C LOG(INC) LOG(EXPFP(1)) LOG(CSP(1)) Pseudo Rsquared Mean dependent var Adjusted Rsquared . dependent var . of regression Objective Quantile dependent var Objective (const. only) Sparsity QuasiLR statistic Prob(QuasiLR stat) 102 輸出結(jié)果的上方顯示了設(shè)定的內(nèi)容，本例中設(shè)定用“ Huber Sandwich”方法估計(jì)系數(shù)協(xié)方差，用“ Siddiqui（ mean fitted）”方法得到稀疏度，用“ HallSheather”方法計(jì)算帶寬。在 20%， 50%和 80%的分位點(diǎn)上政府支出的彈性分別為 ， ， ，并且后兩個(gè)水平的估計(jì)是不顯著的，說明當(dāng)消費(fèi)水平較低時(shí)，政府支出的影響相對較大，而對于較高的消費(fèi)水平，政府支出的影響變小，并且是不顯著的。盡管在以往的研究中，政府支出對居民消費(fèi)的影響還沒有得出一致的結(jié)論，但是在本例中三種估計(jì)的結(jié)果表明政府支出對居民消費(fèi)的彈性值均為正，說明在我們所分析的樣本區(qū)間內(nèi)政府支出與居民消費(fèi)之間是互補(bǔ)的，政府支出的增加有利于加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)和提高社會(huì)保障水平，使居民減少儲蓄，尤其是預(yù)防性儲蓄，從而增加消費(fèi)。 )l n ()l n ()l n ()l n ( 131210 ?? ???? tttt fecsi n ccs ????99 注：括號內(nèi)為彈性系數(shù)的 t值； Quant20， Quant50， Quant80分別 代表 20%， 50%， 80%分位數(shù) 。所有變量均為剔除了價(jià)格因素的年度數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間為 1978～ 2020年。 ? ?? ??iiyV )(m i n)(~0)(0 ???? ???)(~/)(?1)(1 ??? VVR ??96 2．?dāng)M似然比檢驗(yàn)（ QuasiLR Test） 3．分位數(shù)過程檢驗(yàn)（ Quantile Process Testing） （ 1）斜率相等檢驗(yàn)（ Slope Equality Testing） （ 2）對稱檢驗(yàn)（ Symmetry Testing） 97 在 EViews中進(jìn)行分位數(shù)回歸 1. 方法選擇 為了使用分位數(shù)回歸方法估計(jì)方程，在方程設(shè)定對話框的估計(jì)方法中選擇“ QREG”，打開分位數(shù)回歸估計(jì)對話框： 圖 分位數(shù)回歸 “Quantile to estimate”后面輸入值，可以輸入 0~1之間的任意數(shù)值，默認(rèn)值是 ，即進(jìn)行中位數(shù)回歸。將數(shù)據(jù)寫為 xi = (1， x?i1)?， ?(? ) = ( ?0(? ), ?1(? )?)?，這樣式（ ）可以寫為 （ ） 最小化 ? 分位數(shù)回歸的目標(biāo)函數(shù)（ objective function），得到 （ ） )())(,|( ??? βxβx iiq ??? ? )()()(,| 110 ????? βxβx iiq ???? ?? ????iiiyV )()(m i n)(? 110)( ????? ?? βxβ95 回歸方程中只包含常數(shù)項(xiàng)情形下，最小化分位數(shù)回歸的目標(biāo)函數(shù)（ objective function），得到 （ ） 定義分位數(shù)回歸方程的 Machado擬合優(yōu)度為 （ ） R1(? )位于 0~1之間， R1(? )越大說明模型估計(jì)的越好，反之R1(? )越小模型估計(jì)越差。 ? ? )()(,| ??? βxβx iiq ??? ? ?????? ??? ??NiiiN y1)( )(m i nar g)(? ????? βxβ β93 系數(shù)協(xié)方差的估計(jì) 1． 獨(dú)立同分布設(shè)定下協(xié)方差矩陣的直接估計(jì)方法 （ 1） Siddiqui 差商法 （ 2） 稀疏度的核密度估計(jì)量 2． 獨(dú)立但不同分布設(shè)定下協(xié)方差矩陣的直接估計(jì)方法 3． 自舉法 （ Bootstrap） （ 1） XY自舉法 （ 2） 殘差自舉方法 （ 3） 馬爾可夫鏈邊際自舉法 94 模型評價(jià)和檢驗(yàn) 1．?dāng)M合優(yōu)度 與傳統(tǒng)的回歸分析的擬合優(yōu)度 R2類似，分位數(shù)回歸模型也可以計(jì)算擬合優(yōu)度。當(dāng) ? 在 (0, 1) 上變動(dòng)時(shí)，求解下面的最小化問題就可以得到分位數(shù)回歸不同的參數(shù)估計(jì)： （ ） 特別地，當(dāng) ? = 時(shí)為最小絕對值離差法（ Least Absolute Deviations, LAD）。式（ ）中條件關(guān)系式 z 為 yi ? y，當(dāng) yi ? y 時(shí)， I(yi ? y) = 1，否則取值為 0。 )P r o b ()( yYyF ??})(:i n f {)( ?? ?? yFyq 10 ???? ???????????????????????)()(m i na r g)()1()(m i na r g)(ydFyydFyydFyqyy????????????90 考察此最小化問題的一階條件為： （ ） 即 F(?) = ?，也就是說 F(Y)的第 ? 個(gè)分位數(shù)是上述優(yōu)化問題的解。 （ 4）與最小二乘法通過使誤差平方和最小得到參數(shù)的估計(jì)不同，分位數(shù)回歸是通過使加權(quán)誤差絕對值之和最小得到參數(shù)的估計(jì)，因此估計(jì)量不容易受到異常值的影響，從而估計(jì)更加穩(wěn)健。每個(gè)分位點(diǎn)回歸都賦予條件分布上某個(gè)特殊點(diǎn)（中央或尾部）一些特征；把不同的分位點(diǎn)回歸集中起來就能提供一個(gè)關(guān)于條件分布的更完整的統(tǒng)計(jì)特征描述。在金融學(xué)領(lǐng)域也涌現(xiàn)出大量使用分位數(shù)回歸的應(yīng)用研究成果，主要應(yīng)用領(lǐng)域包括風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（ Value at Risk, VaR）研究和刻畫共同基金投資類型的指數(shù)模型。如在教育回報(bào)和勞動(dòng)市場歧視等方面都出現(xiàn)了很好的研究成果。絕大多數(shù)的回歸模型都關(guān)注因變量的條件均值，但是人們對于因變量條件分布的其他方面的模擬方法也越來越有興趣，尤其是能夠更加全面地描述因變量的條件分布的分位數(shù)回歸。在上面的對話框中依次輸入因變量和必須要在最終方程形式中包含的自變量，在下面的對話框中輸入可能會(huì)在最終方程中出現(xiàn)的即備選的解釋變量。 ttttttttt ucspn e tgn e tgpi n vG D Pvni 111 ?????????? ???85 在方程估計(jì)方法設(shè)定對話框中選擇方法：“ STEPLS Stepwise Least Squares”， EViews將會(huì)顯示圖 。因變量是美國總投資 (inv)，考慮用 GDP、個(gè)人消費(fèi) (cs)、政府收支差額 (g_) 和 GDP平減指數(shù) (p)，以及它們滯后 1期的序列作為備選解釋變量，通過逐步回歸方法最終選擇出對投資有顯著影響的解釋變量。這種方法適合于建模者事先設(shè)定了最終希望包含的變量個(gè)數(shù)的情形。當(dāng)入選變量的個(gè)數(shù)達(dá)到事先設(shè)定的數(shù)值時(shí)，結(jié)束篩選。接下來，將第一個(gè)選中的變量逐一與未選中的變量互換，一旦出現(xiàn) R2超過現(xiàn)在的數(shù)值的情況，就將新的變量換入方程中，再將另一個(gè)變量與其他未選中的變量互換，這個(gè)過程一直進(jìn)行下去，直到 R2無法改善的時(shí)候，再考慮加入第三個(gè)變量。 2. 逐步篩選法（ Stepwise method） 82 這種方法基于模型整體效果，即通過判斷擬合優(yōu)度 R2作為篩選變量的標(biāo)準(zhǔn)。每次按照單方向前向法增加一個(gè)變量的時(shí)候，都要按照單方向后向法檢查是否要剔除一些不顯著的變量。 81 逐步篩選法是以單方向篩選法為基礎(chǔ)的，也包含前向法 (Forwards)和后向法 (Backwards)兩種方法。首先設(shè)定變量的入選 p 值標(biāo)準(zhǔn)（比如 ），即將入選變量的顯著性水平設(shè)為 5%；其次選擇所有變量中 p 值最小并且小于所設(shè)定入選 p 值標(biāo)準(zhǔn)的變量加入模型，接著在剩余變量中一直篩選下去；當(dāng)剩余的每個(gè)變量加入模型后其 p 值都大于設(shè)定的 p 值時(shí)，或者增加回歸變量的數(shù)量達(dá)到了建模者事先設(shè)定的數(shù)值時(shí)，逐步回歸運(yùn)算結(jié)束。 79 這種方法包含前向法 (Forwards)和后向法 (Backwards)兩種，兩種方法都是利用最大 t值或者相對應(yīng)的最小 p 值作為變量入選標(biāo)準(zhǔn)，即根據(jù)變量的顯著性進(jìn)行篩選。t 77 加了限制滯后近端為零的近端約束，顯著性有明顯改善。 表格底部的滯后值是分布滯后的估計(jì)系數(shù)值，并且在平穩(wěn)的假設(shè)下有 GDP對 INV的長期影響的解釋。 估計(jì)一個(gè)無限制的 3階多項(xiàng)式滯后模型 ， 輸入變量列表： c INV(1) PDL(GDP, 3, 2)， 窗口中顯示的多項(xiàng)式估計(jì)系數(shù) ， PDL01, PDL02, PDL03 分別對應(yīng)方程 ()中 z1, z2, z3 的系數(shù) ?1, ? 2, ?3。 但總體上講回歸具有一個(gè)合理的 R2。 PDLs不能用于非線性定義 。 為此目的 ，可以定義 PDL(*)作為一個(gè)工具變量 ， 則所有的 PDL變量都將被作為工具變量使用 。 PDL也可用于二階段最小二乘法 TSLS。 例如： sales c pdl(y , 8 , 3 )是用常數(shù) ， 解釋變量 y 的當(dāng)前和 8階分布滯后來擬合因變量 sales， 這里解釋變量 y 的滯后系數(shù)服從沒有約束的 3階多項(xiàng)式 。 71 二、如何估計(jì)包含 PDLs的模型 通過 PDL項(xiàng)定義一個(gè)多項(xiàng)式分布滯后 ， 信息在隨后的括號內(nèi) ， 按下列規(guī)則用逗號隔開： 1. 序列名 2. 滯后長度 （ 序列滯后數(shù) ） 3. 多項(xiàng)式階數(shù) 4. 一個(gè)數(shù)字限制碼來約束滯后多項(xiàng)式： 1 = 限制滯后近端為零 2 = 限制遠(yuǎn)端為零 3 = 兩者都限制 如果不限制滯后多項(xiàng)式 ， 可以省略限制碼 。如果對近端和遠(yuǎn)端都約束，參數(shù)個(gè)數(shù)將減少二個(gè)。 定義一個(gè)PDLs要有三個(gè)元素：滯后長度 k， 多項(xiàng)式階數(shù) （ 多項(xiàng)式最高次冪數(shù) ） p和附加的約束條件 。 定義一個(gè) PDL模型， EViews用 ()式代入到 ()式，將產(chǎn)生如下形式方程 tpptt uzzzy ???????