【導(dǎo)讀】估計(jì)和廣義矩估計(jì)。這里的大多數(shù)方法在第十二章。的聯(lián)立方程系統(tǒng)中也適用。將在第五章中深入介紹。在普通最小二乘法中，為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，2．隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差。即隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差是與觀測時(shí)點(diǎn)t無關(guān)的常數(shù)；歸模型稱為“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)回歸模型”。如果實(shí)際模型滿足不。4．隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間互不相關(guān)。擾動項(xiàng)ui同方差，即他們具有相同的方差?例如我們調(diào)查不同規(guī)模公司的利潤，會發(fā)現(xiàn)大公司的利。產(chǎn)業(yè)特點(diǎn)、研究開發(fā)支出多少等因素。又如在分析家庭支出模。支出有更大的方差。訊支出隨可支配收入的增加而增加。效性，所以通常的假設(shè)檢驗(yàn)值不可靠。因此懷疑存在異方差?；蛘咭呀?jīng)檢測到異方差的存在，則采取補(bǔ)救措施就很重要。量”，用ei2表示。包括有交叉項(xiàng)和無交叉項(xiàng)兩種檢驗(yàn)。EViews顯示兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2統(tǒng)計(jì)量。含太多的變量，這會迅速降低自由度。White檢驗(yàn)的另外一種形式，就是輔助回。因此White檢驗(yàn)有兩個(gè)選項(xiàng)：交叉項(xiàng)和無

　　

【正文】 （ ） 的分位點(diǎn)可以由最小化關(guān)于的目標(biāo)函數(shù)得到，即： （ ） 其中， argmin?{?}函數(shù)表示取函數(shù)最小值時(shí) ? 的取值， ??(u) ? u(? ? I(u 0)) 稱為檢查函數(shù)（ check function），依據(jù) u 取值符號進(jìn)行非對稱的加權(quán)。 )P r o b ()( yYyF ??})(:i n f {)( ?? ?? yFyq 10 ???? ???????????????????????)()(m i na r g)()1()(m i na r g)(ydFyydFyydFyqyy????????????90 考察此最小化問題的一階條件為： （ ） 即 F(?) = ?，也就是說 F(Y)的第 ? 個(gè)分位數(shù)是上述優(yōu)化問題的解。 F(y) 可以由如下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)替代： （ ） 其中 y1， y2， … ， yn 為 Y 的 N 個(gè)樣本觀測值； I(z) 是指示函數(shù)， z 是條件關(guān)系式，當(dāng) z 為真時(shí)， I(z) = 1；當(dāng) z 為假時(shí)， I(z) = 0。式（ ）中條件關(guān)系式 z 為 yi ? y，當(dāng) yi ? y 時(shí)， I(yi ? y) = 1，否則取值為 0。 )()()1())(1()()1()(0??????????FFFydFydFyy???????????? ????????NiiN yyINyF1)(1)(91 相應(yīng)地，經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)為： ， （ ） 式（ ）可以等價(jià)地表示為下面的形式： （ ） })(:i n f {)( ?? ?? yFyq NN 10 ?????????????????????????????iiyiiyiiNyyyqii)(m i na r g)1(m i na r g)(::????????????92 現(xiàn)假設(shè) Y的條件分位數(shù)由 k個(gè)解釋變量組成的矩陣 X線性表示： （ ） 其中， xi =(x1i， x2i， … ， xki)? 為解釋變量向量， ?(? ) =(?1，?2， … ， ?k )?是 ? 分位數(shù)下的系數(shù)向量。當(dāng) ? 在 (0, 1) 上變動時(shí)，求解下面的最小化問題就可以得到分位數(shù)回歸不同的參數(shù)估計(jì)： （ ） 特別地，當(dāng) ? = 時(shí)為最小絕對值離差法（ Least Absolute Deviations, LAD）。另外，分位數(shù)回歸的系數(shù)估計(jì)需要求解線性規(guī)劃問題，很多種方法可以對此問題進(jìn)行求解。 ? ? )()(,| ??? βxβx iiq ??? ? ?????? ??? ??NiiiN y1)( )(m i nar g)(? ????? βxβ β93 系數(shù)協(xié)方差的估計(jì) 1． 獨(dú)立同分布設(shè)定下協(xié)方差矩陣的直接估計(jì)方法 （ 1） Siddiqui 差商法 （ 2） 稀疏度的核密度估計(jì)量 2． 獨(dú)立但不同分布設(shè)定下協(xié)方差矩陣的直接估計(jì)方法 3． 自舉法 （ Bootstrap） （ 1） XY自舉法 （ 2） 殘差自舉方法 （ 3） 馬爾可夫鏈邊際自舉法 94 模型評價(jià)和檢驗(yàn) 1．?dāng)M合優(yōu)度 與傳統(tǒng)的回歸分析的擬合優(yōu)度 R2類似，分位數(shù)回歸模型也可以計(jì)算擬合優(yōu)度。在分位數(shù)回歸中，參數(shù)估計(jì)是通過 （ ） 得到的。將數(shù)據(jù)寫為 xi = (1， x?i1)?， ?(? ) = ( ?0(? ), ?1(? )?)?，這樣式（ ）可以寫為 （ ） 最小化 ? 分位數(shù)回歸的目標(biāo)函數(shù)（ objective function），得到 （ ） )())(,|( ??? βxβx iiq ??? ? )()()(,| 110 ????? βxβx iiq ???? ?? ????iiiyV )()(m i n)(? 110)( ????? ?? βxβ95 回歸方程中只包含常數(shù)項(xiàng)情形下，最小化分位數(shù)回歸的目標(biāo)函數(shù)（ objective function），得到 （ ） 定義分位數(shù)回歸方程的 Machado擬合優(yōu)度為 （ ） R1(? )位于 0~1之間， R1(? )越大說明模型估計(jì)的越好，反之R1(? )越小模型估計(jì)越差?？梢钥闯?，這與用普通最小二乘法估計(jì)的傳統(tǒng)回歸方程中定義的擬合優(yōu)度 R2類似，分位數(shù)回歸擬合優(yōu)度的計(jì)算是基于分位數(shù)回歸方程目標(biāo)函數(shù)的最小值與只用常數(shù)項(xiàng)作為解釋變量時(shí)的分位數(shù)回歸方程目標(biāo)函數(shù)最小值的關(guān)系。 ? ?? ??iiyV )(m i n)(~0)(0 ???? ???)(~/)(?1)(1 ??? VVR ??96 2．?dāng)M似然比檢驗(yàn)（ QuasiLR Test） 3．分位數(shù)過程檢驗(yàn)（ Quantile Process Testing） （ 1）斜率相等檢驗(yàn)（ Slope Equality Testing） （ 2）對稱檢驗(yàn)（ Symmetry Testing） 97 在 EViews中進(jìn)行分位數(shù)回歸 1. 方法選擇 為了使用分位數(shù)回歸方法估計(jì)方程，在方程設(shè)定對話框的估計(jì)方法中選擇“ QREG”，打開分位數(shù)回歸估計(jì)對話框： 圖 分位數(shù)回歸 “Quantile to estimate”后面輸入值，可以輸入 0~1之間的任意數(shù)值，默認(rèn)值是 ，即進(jìn)行中位數(shù)回歸。 98 例 分位數(shù)回歸 利用例 ，我們建立如下的回歸方程研究政府支出對居民消費(fèi)的影響： （ ） 其中， cs為實(shí)際居民消費(fèi)， inc為實(shí)際可支配收入， fe為財(cái)政支出，考慮到財(cái)政政策通常具有時(shí)滯的特點(diǎn)，模型中采用滯后一期的財(cái)政支出作為解釋變量。所有變量均為剔除了價(jià)格因素的年度數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間為 1978～ 2020年。為了進(jìn)行比較，我們同時(shí)給出最小二乘法以及三個(gè)不同分位點(diǎn)的分位數(shù)回歸估計(jì)結(jié)果（見表 ）。 )l n ()l n ()l n ()l n ( 131210 ?? ???? tttt fecsi n ccs ????99 注：括號內(nèi)為彈性系數(shù)的 t值； Quant20， Quant50， Quant80分別 代表 20%， 50%， 80%分位數(shù) 。 系數(shù)估計(jì)結(jié)果 OLS Quant20 Quant50 Quant80 () () () () （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） R2 表 最小二乘法和分位數(shù)回歸結(jié)果 0??1??2??3??100 從估計(jì)結(jié)果可以看出，對于不同的估計(jì)方法，居民實(shí)際可支配收入、前期消費(fèi)水平兩個(gè)變量的彈性系數(shù)變化不大。盡管在以往的研究中，政府支出對居民消費(fèi)的影響還沒有得出一致的結(jié)論，但是在本例中三種估計(jì)的結(jié)果表明政府支出對居民消費(fèi)的彈性值均為正，說明在我們所分析的樣本區(qū)間內(nèi)政府支出與居民消費(fèi)之間是互補(bǔ)的，政府支出的增加有利于加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)和提高社會保障水平，使居民減少儲蓄，尤其是預(yù)防性儲蓄，從而增加消費(fèi)。最小二乘估計(jì)給出的是政府支出對消費(fèi)的平均影響效果，而分位數(shù)回歸給出的是消費(fèi)處于不同分位水平時(shí)，政府支出對居民消費(fèi)的影響。在 20%， 50%和 80%的分位點(diǎn)上政府支出的彈性分別為 ， ， ，并且后兩個(gè)水平的估計(jì)是不顯著的，說明當(dāng)消費(fèi)水平較低時(shí)，政府支出的影響相對較大，而對于較高的消費(fèi)水平，政府支出的影響變小，并且是不顯著的。因?yàn)楫?dāng)消費(fèi)水平較高時(shí)，進(jìn)一步提升的空間變小，政府支出對其影響也變小 。 101 例 (以 )： 2. 分位數(shù)回歸的輸出結(jié)果 Dependent Variable: LOG(CSP) Method: Quantile Regression (tau = ) Coefficient Std. Error tStatistic Prob. C LOG(INC) LOG(EXPFP(1)) LOG(CSP(1)) Pseudo Rsquared Mean dependent var Adjusted Rsquared . dependent var . of regression Objective Quantile dependent var Objective (const. only) Sparsity QuasiLR statistic Prob(QuasiLR stat) 102 輸出結(jié)果的上方顯示了設(shè)定的內(nèi)容，本例中設(shè)定用“ Huber Sandwich”方法估計(jì)系數(shù)協(xié)方差，用“ Siddiqui（ mean fitted）”方法得到稀疏度，用“ HallSheather”方法計(jì)算帶寬。下面顯示了系數(shù)估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)差、 t檢驗(yàn)值和相應(yīng)的 p值。最下方顯示了擬合優(yōu)度和調(diào)整值、稀疏度數(shù)值、目標(biāo)函數(shù)的最小值（“ objective”）、僅包含常數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的最小值（“ Objective (const. only)）、因變量序列的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)（“ Quantile dependent var”）、擬似然比檢驗(yàn)值（“ QuasiLR statistic”）和相應(yīng)的 p值（“ Prob(QuasiLR stat)”）等。 103 3．分位數(shù)回歸中的視圖和過程 分位數(shù)回歸中的多數(shù)視圖和過程都與用 OLS法估計(jì)的方程對象中提供的功能相同，但有些地方還是值得注意，如冗余變量檢驗(yàn)、遺漏變量檢驗(yàn)和“ Ramsey RESET”檢驗(yàn)將都用到擬似然比檢驗(yàn)。而在分位數(shù)過程（“ Quantile process”）里，提供了分位數(shù)回歸中特有的三個(gè)功能：過程系數(shù)（“ Process Coefficients”）、斜率相等檢驗(yàn)（“ Slope Equality Test”）和對稱檢驗(yàn)（“ Symmetric Quantiles Test”）。 104 （ 1）“ Process Coefficients”：通過這個(gè)功能可以同時(shí)觀察多種分位數(shù)設(shè)定下的系數(shù)估計(jì)結(jié)果。可以選擇結(jié)果輸出 (“output”)的顯示方式，即表格 (“table”)或者圖形 (“graph”)，默認(rèn)狀態(tài)是以表格形式顯示系數(shù)估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)差、 t檢驗(yàn)值和 p值。如果選擇以圖形的方式顯示，需要指定置信度，默認(rèn)狀態(tài)是 95%。下面一欄中可以設(shè)定在何種分位數(shù)下估計(jì)模型，系統(tǒng)默認(rèn)數(shù)值是 10分位數(shù)，即對因變量的 10%、 20%、一直到 90%分位數(shù)情形分別估計(jì)系數(shù)，如果輸入 20，則對因變量的 5%、10%、一直到 95%分位數(shù)情形分別估計(jì)系數(shù)。 （ 2）“ Slope Equality Test”：這個(gè)功能用來檢驗(yàn)因變量的不同分位數(shù)回歸估計(jì)中斜率系數(shù)是否相同。默認(rèn)狀態(tài)下，只比較 25%、 50%、75%三種情形，當(dāng)然也可以自行設(shè)定。 （ 3）“ Symmetric Quantiles Test”檢驗(yàn)對稱的分位數(shù)回歸估計(jì)出來的系數(shù)的平均值是否與中位數(shù)回歸的系數(shù)估計(jì)值相等。 105 非參數(shù)回歸模型 前面介紹的回歸模型，無論是線性形式還是非線性形式，都需要明確地給出被解釋變量和解釋變量之間的關(guān)系，才能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)進(jìn)而利用模型的估計(jì)結(jié)果分析問題。然而，變量之間關(guān)系的設(shè)定具有很強(qiáng)的主觀性，建模者往往需要嘗試多種形式的模型，才能根據(jù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和經(jīng)濟(jì)意義等多種因素的考慮最終選定模型的形式。本節(jié)中將要對非參數(shù)回歸模型作初步的介紹。非參數(shù)模型假定變量間的關(guān)系是未知的，其所要估計(jì)的是回歸函數(shù)本身。對于這個(gè)未知函數(shù)的估計(jì)通?？梢圆捎煤斯烙?jì)和