【正文】 致地分析價格與收入哪怕發(fā)生了十分微小的變動，需求會有多大的變動。 ???????????????????????????????????????0)(1)(1)(0)(),(),(),(212211xuxuxuppxuxxxpxrpupupuxTT????????????JJ可見，只要 u強擬凹， J(x, ?)就可逆，從而有下面的可微性定理。計算 J(x, ?)： 3. 需求函數(shù)的可微性 ? 可微性定理 在假設(shè) HC、 HP和 HU下 ， 如果效用函數(shù) u 強擬凹，( p, r)??? 且 x = ?( p, r)?X ?，則需求映射 ? 在 ( p, r)附近連續(xù)可微。 r? px = 0” 唯一確定了需求映射 x = ?( p, r) 并且 ?( p, r) 連續(xù)，即需求函數(shù) 是邊際方程確定的隱函數(shù)。對任何 x?X ?，如果 u 在點 x 處強擬凹，則對任何實數(shù) ? ? 0，矩陣 H(u(x), ?) 都是可逆的。則 u(x)強擬凹 當且僅當 u(x)在 X 內(nèi)部嚴格擬凹并且對任何 x?X ?，加邊海森矩陣 H(u(x))都可逆。 二階充分條件也叫做效用函數(shù)的強擬凹性，具體定義如下。 這一事實的證明留作練習(xí)。 (2) 稱 u 是 強擬凹 的效用函數(shù) ， 是指 u 在 X 內(nèi)部各點處都強擬凹 。 ? ? ???????? )()( xuxu hk0)()( 1, ?? ????? ?? kh khhkT zzxuzxuz)}(:{}0)(:{)( xTyxyxuzRzx ???????? ?1. 二階充分條件：效用函數(shù)強擬凹 二階必要條件并不充分，但若將其中的 “ 半負定 ” 改換成 “ 負定 ” ，則可得到效用最大化的 二階充分條件 ： ? 強擬凹性的定 義 設(shè)效用函數(shù) u(x) 二階可微。這里， T(x)的定義如下： 根據(jù)微積分知識可知， u在該點 x o T(x) x u?(x)=? p ?(x) y z ??????rpxpxu )(}0)()(:{)( ????? xuxzRzxT ?處的海森矩陣 在 切空間 ?(x) 上半負定，即對任何 z??(x)，都有 ，其中切空間 ?(x)的定義為： 。 (二 ) 二階條件決定可微需求 現(xiàn)在，我們來考察效用最大化的 二階條件。這表明： 消費者在商品 i上的支出是各種商品的價格和收入的線性函數(shù) 。上式說明 , 消費者把剩余收入 r ? p? 按照比例 ? i 用于增加商品 i 的消費量。 第一步，采用與 v (x)等價 的效用函數(shù) w(x)： 其中 ? i =? i /(? 1+? 2 +?+??) (i = 1,2,?,?)。用效用 函數(shù) u(x)寫出邊際方程 ： ，故 邊際方程為 。 ???? ??? ??? )()()()( 21 2211 ???? xxxxv}:{ ???? xRxX ?)}()0(:),{() } ,()0(:),{( ?? prpRRrpprpRRrp ???????????????? ???其中 ? 1+? 2+?+?? = 1， ? i ? 0 (i = 1,2,?,?)。因此，消費者均衡必然在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)。下面，我們應(yīng)用消費最優(yōu)化理論來分析這一問題。當收入用于支付生活必需后還有剩余時，為了得到更大的滿足，需要進行更多的消費。)( 2 ΦrpDVRV ?? ?? ??V Up p1 p2 D( p, r) ),( rpD ?w D(w, r) w1 w2 D( p, r)?V =? ? =V ?D(w, r) 價格空間 消費集合 0p0p1p2p例 2. 線性支出系統(tǒng) 消費者為了生存，需要保證每種商品的一個最低消費。但它不是下半連續(xù)的，這一事實的證明思路是去證明在 p1 = p2 0 的地方 D( p, r)不下半連續(xù)。故 D( p, r)在 ( p?, r)處不是下半連續(xù)的。 r/p2 x1 r/p1 px = r D( p, r) (1) p1 p2的情形 (2) p1 p2的情形 (3) p1= p2的情形 ??? ??????????????? RRrppprpxXxppprppprrpD 221211212),( a l lf or if},:{ if) } ,0,{( if) } ,0{(),(通話時間 越多越好 ? ( p, r) ? ( p, r) 通話時間 越多越好 通話時間 越多越好 D( p, r) D( p, r) x1 x1 x2 x2 x2 r/p2 r/p2 r/p1 r/p1 o o o ? ( p, r) r/p2 為此，任意給定收入 r 0和價格 ，選一個開球 V使得 。 可見，在兩家公司提供的服務(wù)相同的情況下，話費價格低的公司完全占領(lǐng)市場。為此，對任何 ( p, r)??，可按照 p1 p p1 p p1 = p2 三種情形分別討論。因此，消費者移動通訊消費方案的評價可以按照通話總時間多少來確定的： (?x, y?X)( ((x1, x2) ? ( y1, y2)) ? (x1+x2 ? y1+y2) ) 即消費者認為，移動通話的總時間越多越好。這樣，消費者的消費集合便為 。 r：消費者準備用于支付話費的收入。 x1：消費者使用公司 A的網(wǎng)絡(luò)通話的時間 (分鐘 )。 p1：公司 A的話費 (元 /分種 )。我們來分析一下移動通訊市場的需求情況。下面給出兩個應(yīng)用事例。預(yù)算連續(xù)性通過預(yù)算集映 ? : ?? X 來表達。 需求是預(yù)算集合中最好的消費，需求的連續(xù)性以預(yù)算連續(xù)性為基礎(chǔ)。則需求 D: ? ? X 是上半連續(xù)的閉集值集映，并且還是對應(yīng) 。 ? ? (一 ) 一階條件決定連續(xù)需求 ? 預(yù)算連續(xù)性 ： 設(shè)消費集合 是下有界非空閉凸子集，則預(yù)算集映 ? : ?? X 是連續(xù)的閉對應(yīng) 。需求函數(shù)的可微性是通常分析需求規(guī)律時，必不可少的一個前提。進而在嚴格凸偏好下，一階條件決定了連續(xù)的需求函數(shù)。這樣的需求可以通過邊際方程加以確定，即對任何 ( p, r)??，都有： (?x?X ?)( (x?D( p, r)) ? (?? 0)((u?(x) = ? p)?( px = r)) ) 將會看到，如此決定的 需求集映 D : ??X 是上半連續(xù)的。 ? 需求的決定、 連續(xù)性與可微性 ? 價格和收入的變動對于需求的影響：替代效應(yīng)與收入效應(yīng) 一、需求的決定、連續(xù)性與可微性 需求決定是需求分析的基礎(chǔ)，而上一講講述的效用最大化理論不但明確了需求的含義，而且奠定了需求決定的基礎(chǔ)。本講就來研究基于偏好的需求的性能，看看它是否符合現(xiàn)實需求的特點。 研究基于偏好的需求的目的，是要解釋現(xiàn)實需求如何決定。比如，你只需觀察家庭主婦在超市或商場購買的東西，很快就知道她的需求是什么。第 5講 基于偏好的需求 馬歇爾需求以消費者偏好為前提，可稱作 基于偏好的需求 。然而現(xiàn)實的需求是實實在在的東西，看得見、摸得著。我們把現(xiàn)實中這種看得見、摸得著的需求叫做 可觀察的需求 。但若基于偏好的需求與現(xiàn)實需求之間差別很大，尤其是兩種需求在性能上差異很大的話，那么基于偏好的需求就失去了意義。我們將主要討論需求的決定、需求的連續(xù)與可微性能以及價格和收入的變動對于需求的影響等問題。 根據(jù)效用最大化理論，理性消費者 (X , ?) 的需求是明確的、實在的： (?( p, r)??)( D( p, r) = {x?? ( p, r): (?y?? ( p, r))( y ? x)} ? ? )。這就是說，一階條件 (邊際方程 )決定上半連續(xù)的需求集映。 若考慮效用最大化的二階條件，則又將看到，二階條件決定了可微的需求函數(shù)。因此，效用最大化二階條件十分重要，由此引出了效用函數(shù)的強擬凹性概念。 ? 需求上半連續(xù)性 ： 設(shè)消費集合 是下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系 ? 連續(xù)。 ? 需求函數(shù)的連續(xù)性 ： 在假設(shè) HC和 HP下 ， 需求映射 ? : ? ? X 是連續(xù)的，從而各個需求函數(shù) ?h( p, r) (h = 1,2, ?,?)都是連續(xù)函數(shù) 。沒有預(yù)算連續(xù)性，就很難保證當價格和收入變化很小時，需求變化也很小。 ?RX ??RX ? 這些定理表明，效用最大化一階條件 (即邊際方程 )決定的是連續(xù)需求。 例 1. 移動通訊需求 ? ? 信息技術(shù)的發(fā)展讓移動通訊業(yè)在全球迅速興盛起來，尤其在中國，手機的使用已經(jīng)比較普遍，移動通訊需求相當旺盛，移動通訊業(yè)的競爭也迅速展開。 假定市場上有兩家公司 A和 B(比如聯(lián)通公司和移動公司 )在提供移動通訊業(yè)務(wù)，這兩家公司提供的服務(wù)相同，但話費可能不同。 p2：公司 B的話費 (元 /分種 )。 x2：消費者使用公司 B的網(wǎng)絡(luò)通話的時間 (分鐘 )。 這樣，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示著消費者的通話選擇：使用網(wǎng)絡(luò) A通話 x1分鐘，使用網(wǎng)絡(luò) B通話 x2分鐘。 2?? RX(1) 偏好關(guān)系的確定 ? ? 既然兩家提供的服務(wù)完全相同，那么在不考慮價格因素的情況下，不論是用誰的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)，對消費者來說都是一樣的。這樣，無差異曲線為直線： x1 + x2 = U (0 ? U ?) 通話向量 x = (x1, x2) 的話費為： px = p1x1 + p2 x2 預(yù)算集合為： ? ( p, r) = {x?X : px ? r} 下面來找出 ? ( p, r)中所有最好的通話向量，即確定移動通訊需求 D( p, r)。 x1 x2 o ? ( p, r) 無 差 異 曲 線 (2) 移動通訊需求的確定 我們通過圖示來直觀地說明移動通訊需求的確定。小靈通公司正是看到了這一特點，在 2020年果斷采取降價策略，在中國移動通訊市場上一舉獲得成功。則對包含 p?的任何開集 U以及 U中這樣的點 p = ( p1, p2)： p1? p2，都有 D( p, r)?V = ?。 (3) 移動通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性 ? 移動通訊消費者明顯地滿足需求上半連續(xù)性定理的條件，因此移動通訊需求集映 D( p, r)是上半連續(xù)的。 x1 x2 o ΦrpDV ?),( ??o 0),( 00 ?? ppp ?)),((amp。假設(shè)商品 i 的最低消費量為 ? i (i = 1,2,?,?)，則向量 ? = ( ? 1, ? 2,?, ? ?) 代表 生活基本需要 。那么，消費者如何把剩余收入用于增加各種商品消費呢？這個問題較實際，現(xiàn)實中常常會碰到。這個問題中，消費集合 ，價格收入空間為： 假定消費者具有 CobbDouglass形式的效用函數(shù)： 這種效用函數(shù)表示的消費者偏好是連續(xù)的、無滿足的、內(nèi)部嚴格凸的，并且滿足假設(shè) HU 和邊界最差假設(shè)。偏好的內(nèi)部嚴格凸性還保證了消費者均衡的唯一性，從而需求映射是確定的。 需求完全由邊際方程唯一確定： x = ?( p, r) (( p, r)???)。 (1) 效用函數(shù)的變形 可對上述效用函數(shù)進變形以便于使用。 第二步，既然均衡在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)，故可不必考慮邊界消費，從而效用函數(shù) w(x)可以進一步變成為更簡單的形式： ???? ??? ??? )()()()( 21 2211 ???? xxxxw)()l n ()( 1 ??? ??? ?? ? xxxu i iii?