【正文】 ??????rpxpxu )(),2,1()( ?????? ixxuiiii ????????????rxpxpxpipx iiii?????2211),2,1()( ???(2) 需求函數(shù)的求解 ??????????rxpxpxpixp iiii?????2211),2,1()( ???),2,1()(),(),2,1()()(111???????????????????? ????ipprrpxiprpxpprxpiiiiiiiiiiiiiiii???????????? 解的意義 ： p? 是消費者必需的最小支出， pi ? i 是消費者要花費在商品 i 上的最小支出。 在這個需求系統(tǒng)中 , pi x i = pi ? i +? i (r ? p?)。鑒于此 , 人們把這個需求系統(tǒng)叫做 線性支出系統(tǒng) ，它在計量經(jīng)濟學中有重要應用。從邊際方程 可以 看出，假若 x?X ? 是效用最大化問題max u(x) . px = r 的解，那么 x 必是效用函數(shù) u 在點 x 處的 切平面 T(x) 上的最大值點。這就得到了效用最大化 二階必要條件 ： 海森矩陣 u?(x) 在切空間 ?(x) 上半負定 。 (1) 稱 u 在點 x?X ? 處強擬凹 ， 是指 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負定 ， 即 對任何 z??(x)， z ? 0， 都有 。 強擬凹性是關于偏好的性質，與效用函數(shù)選擇無關： ? 若 u 和 v 是等價的二階可微效用函數(shù)，則 u 強擬凹 ? v 強擬凹。 T ? 在假設 HU下 ， 若 x?X ? 滿足邊際方程且 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負定 ， 則 x 是效用最大化問題 max u(x) . px = r 的局部唯一解 。 0)( ??? Tzxuz2. 強擬凹效用函數(shù)的特點 函數(shù) u(x)在點 x處的加邊海森矩陣 H(u(x))是指下述矩陣： ? 擬凹性定理 1 設消費集合 X 滿足假設 HC，效用函數(shù) u(x) 弱擬凹且滿足假設 HU。 T ?????? ? ???? 0)( )()())(( xu xuxuxuHT? 擬凹性定 理 2 設效用函數(shù) u(x) 滿足假設 HU。這里，矩陣 H(u(x), ?) 的定義如下： ?????? ? ???? 0)( )()()),(( xu xuxuxuHT??? 假設 HC、 HP 和 HU 保證邊際方程 “ u?(x) ?? p = 0 amp。隱函數(shù)存在定理指出，需求函數(shù)的連續(xù)可微性取決于邊際方程的雅克比矩陣 J(x, ?) 是否可逆。 ? “ HC、 HP、 HU、 內(nèi)部均衡 、 強擬凹 ” ? 需求函數(shù)連續(xù)可微 。 二、價格與收入變動對需求的影響 (1) 消費集合 X 滿足假設 HC， 偏好關系 ? 滿足假設 HP； (2) ? 的 效用函數(shù) u 滿足假設 HU并且強擬凹 ； (3) 均衡在消費集合內(nèi)部實現(xiàn) ： (?( p, r)???)(? ( p, r)?X ?)。我們將假定 ： 在這些假定下，消費者的需求影射 x = ? ( p, r) 由邊際方程唯一確定。 (一 ) 基本矩陣方程 假定價格 p發(fā)生了微小變化 ，收入 r 發(fā)生了微小變化 d r，引起需求發(fā)生變化 (不帶轉置符號 “ T” 的向量均可看成行矩陣 )，同時引起拉氏乘數(shù) ? 發(fā)生微小變化 d? 。 Tpppp )ddd(d 21 ??? 注意， ? p = u?(x)。 矩陣 S 叫做 斯勒茨基矩陣 ，其元素 shk 叫做 斯勒茨基系數(shù) 。0 ?? TT zppZ 0?TSp ),2,1(01??? ????hpsk khk 求解基本矩陣方程： 于是得到方程 ，叫做 斯勒茨基方程 。 從微分公式又可得到 需求對價格和收入的 導數(shù)公式 ： 即 3. 需求變動的微分公式與導數(shù)公式 rzpxzx TT dd)(d ??? S? ?? ???????????????????TTkhhkTzzzzrxxzsxzpx????21S),2,1,( ?????????????????khzrxxzspxhhkhhkkh(二 ) 價格與收入變動的效應分析 當商品價格不發(fā)生變化而收入發(fā)生變化時，商品的需求量明顯地會受到影響。 然而，現(xiàn)實中還常會遇到這樣的情況：某種商品的價格并未變化，消費者收入也未變化，該種商品的需求量卻發(fā)生了變化。 價格變化導致消費者實際收入水平發(fā)生變動，從而產(chǎn)生 收入效應 ；價格變動還引起商品便宜貴賤情況發(fā)生相對變化，從而產(chǎn)生替代。 價格與收入變動引起的需求總變動叫做 總效應 ，它等于替代效應與收入效應之和： 總效應 = 收入效應 + 替代效應 。結合導數(shù)公式，可把微分公式進一步寫成： 價格和收入變動引起的實際收入變動包括兩部分：一是 dr；另一是價格變動引起的實際收入變動。 把這兩部分變動加在一起，便得到價格和收入變動引起的實際收入總變動，其值為 dr ? xdp。 rxpxrppxrzpx T ???????? )dd(d)dd(dd SS 根據(jù) ?xh /?r 的含義，可把 ?xh /?r 叫做 商品 h的 收入效應系數(shù) ，把列向量 ?x /?r 叫做商品 h 的 收入效應系數(shù)向量 。 2. 價格變動的收入效應 在收入效應 (dr – xdp) ?x /?r 中，第一項 dr ?x /?r 表示直接由收入變動所產(chǎn)生的效應，屬于 直接收入效應 ；第二項 (– xdp)?x /?r表示由價格變動引起實際收入變動，進而由實際收入變動所引起的需求變動，是一種 間接收入效應 ，純粹反映了 價格變動的收入效應 。 注意， 。可見，系數(shù) xk ?xh /?r 具有特殊的意義：它表示 商品 k 的價格上升一單位 (其余商品價格及名義收入都不變 )時 ， 因實際收入相對下降而引起的商品 h 的需求減少量 。 Thhh rxrxrxpxrxpx ????????????????????? ?211)d()d(? 商品 h 對 k 的 (價格 )收入效應系數(shù) ? hk 表示純粹由商品 k 的價格變動對商品 h 的需求產(chǎn)生的收入效應率 。因此 , Sdp代表價格變動的替代效應。價格變動 dp 引起消費者實際收入發(fā)生變動 ?xdp，此時，讓收入 r 發(fā)生一個補償性的變化 dr = xdp，則可保證實際收入水平不變： dr – xdp = 0。由此可見， Sdp表示 當價格發(fā)生變動時，給消費者進行收入補償以使實際收入水平不變，而發(fā)生的商品需求量的變動量 ，這正是 替代效應 ?？梢?，斯勒茨基系數(shù)具有特殊的意義： ? 斯勒茨基系數(shù) shk 表示在實際收入水平不變的條件下 ， 商品 k 的價格上升一單位所引起的商品 h 的需求增加量 。如果對消費者進行收入補償使其實際收入不變，則需補償 xk 個單位的收入，這引起商品 h的需求量增加 xk ?xh /?r個單位。這就從經(jīng)濟意義上進一步闡明了 shk = ?xh /?pk + xk ?xh /?r 的必然性。 根據(jù) ?xh /?pk = shk – zh xk， zh= ?xh /?r ( h, k = 1, 2,?, ? ) 可知， (三 ) 替代矩陣與需求變動的特點 鑒于斯勒茨基系數(shù)的替代效應意義，斯勒茨基矩陣 S 可稱作 替代效應系數(shù)矩陣 ，簡稱 替代矩陣 。 ? 替代效應的實際支出不變 ： 解釋 ：在商品 k的價格上升一單位情況下，各種商品 h的替代效應分別為 shk (h = 1,2, ?,?)。所以，替代效應的實際支出不變。011?? ??????????hhhhhhT rxpzppzp S),2,1(0i . e .,01??? ?????kpsphhhkS? 增加的收入等于增加的支出 ： 1i . e .,11?? ?????hhhT rxppz? ?? 1h hhk ps解釋 ：收入增加一單位引起支出增加 ，其值為 1。 從現(xiàn)實經(jīng)濟生活看，替代效應的對稱性也是必然的，它來自于現(xiàn)實中 商品替代的相互性 ： 另一種商品能夠替代這一種 ， 那么這一種商品也就能夠替代另一種商品 ； 同時 ， 另一種商品是以怎樣的程度來對這一種商品產(chǎn)生替代作用的 ， 那么這一種商品也就以怎樣的程度來對另一種商品產(chǎn)生替代作用 。從這一點上說， 基于偏好的需求符合現(xiàn)實需求的特點和規(guī)律 。 ),2,1,( ???????????????? khsrxxpxrxxpxs khkhhkhkkhhk 進一步，可以證明：替代矩陣 S 是半負定的。 這樣，在沒有收入補償?shù)那闆r下，正常商品的價格上漲必然導致商品的需求量下降，原因在于正常商品的收入效應系數(shù)為正。替代矩陣的半負定性說明了這一現(xiàn)象，可見 基于偏好的需求 能夠描述實際現(xiàn)象， 符合現(xiàn)實需求的特點和規(guī)律 。 盡管可以證明替代矩陣半負定，但不可祈求替代矩陣負定。 例 3. 奇異的替代矩陣 消費集合： 效用函數(shù)： 需求函數(shù)： 3. 不可祈求替代矩陣負定 計算行列式： 。 2?? RX?10w h e r e)()( 2121 ???? ?? ??? Rxxxxu???????221111),(),(prrpxprrpx????2222221211212111 1,)1(,0。任何商品的替代效應 shh都非正，而 正常商品價格變動的收入效應 ? xh ?xh??r為負 ，故才有正常商品服從需求法則： ?xh??ph 0。 特別是 ， 低檔商品價格 變動的收入效應 ? xh ?xh??r 非負 。只有當 shh ? xh ?xh??r 時，即替代效應的絕對值不小于收入效應的絕對值，才有 ?xh??ph ? 0。這種商品叫做 吉芬商品 ，它違背了需求法則，價格上升時，其需求量不降，反而上升。 初、中級微觀經(jīng)濟學中，商品之間的替代性與互補性是通過一種商品的需求對另一種商品的價格的導數(shù)正負來判斷的：導數(shù)為正既代表 “ 替代 ” ；導數(shù)為負則代表 “ 互補 ” 。正確的方法應該是使用替代效應系數(shù)來判斷： 5. 商品消費中替代現(xiàn)象的普遍性 01 ?? ??h hhk ps從 skk ? 0 及 可知： ? 替代品 ： 當 shk 0 時 ， 商品 h 與 k 互為替代品 。 ? 獨立品 ： 當 shk = 0 時 ， 商品 h 與 k 之間相互獨立 。 因此可以說， 在消費活動中 ， 商品之間的替代現(xiàn)象比互補現(xiàn)象更為普遍一些 。但這是一個微分等式，在實際操作中不好把握。 ),( rpu? ?)0()0dd()0(d)1amp。這樣一來， “ 實際收入不變 ” 就是說 “ 效用水平不變 ” 。可見， 。所以， 羅伊恒等式再次說明了 實際收入不變 (d r = x d p)意味著效用水平不變 。需求映射 x = ?( p, r) 的這些普通特點可以總結歸納如下。 ? 對稱半負定 ： S = (shk)在 任何 ( p, r)???處都是對稱的半負定矩陣 ， ? ?),(),()0)(),(( rptrtptrp ?? ??????? ?rrpprp ???? ),()),(( ?其中 。如果一個關于價格和收入的映射能夠具有如上四條性質，那么該映射就可看成是某個消費者的需求映射。 2. 推導需求基本矩陣方程。證 明：