【正文】 ??????rpxpxu )(),2,1()( ?????? ixxuiiii ????????????rxpxpxpipx iiii?????2211),2,1()( ???(2) 需求函數(shù)的求解 ??????????rxpxpxpixp iiii?????2211),2,1()( ???),2,1()(),(),2,1()()(111???????????????????? ????ipprrpxiprpxpprxpiiiiiiiiiiiiiiii???????????? 解的意義 ： p? 是消費(fèi)者必需的最小支出， pi ? i 是消費(fèi)者要花費(fèi)在商品 i 上的最小支出。 在這個(gè)需求系統(tǒng)中 , pi x i = pi ? i +? i (r ? p?)。鑒于此 , 人們把這個(gè)需求系統(tǒng)叫做 線性支出系統(tǒng) ，它在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中有重要應(yīng)用。從邊際方程 可以 看出，假若 x?X ? 是效用最大化問(wèn)題max u(x) . px = r 的解，那么 x 必是效用函數(shù) u 在點(diǎn) x 處的 切平面 T(x) 上的最大值點(diǎn)。這就得到了效用最大化 二階必要條件 ： 海森矩陣 u?(x) 在切空間 ?(x) 上半負(fù)定 。 (1) 稱 u 在點(diǎn) x?X ? 處強(qiáng)擬凹 ， 是指 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負(fù)定 ， 即 對(duì)任何 z??(x)， z ? 0， 都有 。 強(qiáng)擬凹性是關(guān)于偏好的性質(zhì)，與效用函數(shù)選擇無(wú)關(guān)： ? 若 u 和 v 是等價(jià)的二階可微效用函數(shù)，則 u 強(qiáng)擬凹 ? v 強(qiáng)擬凹。 T ? 在假設(shè) HU下 ， 若 x?X ? 滿足邊際方程且 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負(fù)定 ， 則 x 是效用最大化問(wèn)題 max u(x) . px = r 的局部唯一解 。 0)( ??? Tzxuz2. 強(qiáng)擬凹效用函數(shù)的特點(diǎn) 函數(shù) u(x)在點(diǎn) x處的加邊海森矩陣 H(u(x))是指下述矩陣： ? 擬凹性定理 1 設(shè)消費(fèi)集合 X 滿足假設(shè) HC，效用函數(shù) u(x) 弱擬凹且滿足假設(shè) HU。 T ?????? ? ???? 0)( )()())(( xu xuxuxuHT? 擬凹性定 理 2 設(shè)效用函數(shù) u(x) 滿足假設(shè) HU。這里，矩陣 H(u(x), ?) 的定義如下： ?????? ? ???? 0)( )()()),(( xu xuxuxuHT??? 假設(shè) HC、 HP 和 HU 保證邊際方程 “ u?(x) ?? p = 0 amp。隱函數(shù)存在定理指出，需求函數(shù)的連續(xù)可微性取決于邊際方程的雅克比矩陣 J(x, ?) 是否可逆。 ? “ HC、 HP、 HU、 內(nèi)部均衡 、 強(qiáng)擬凹 ” ? 需求函數(shù)連續(xù)可微 。 二、價(jià)格與收入變動(dòng)對(duì)需求的影響 (1) 消費(fèi)集合 X 滿足假設(shè) HC， 偏好關(guān)系 ? 滿足假設(shè) HP； (2) ? 的 效用函數(shù) u 滿足假設(shè) HU并且強(qiáng)擬凹 ； (3) 均衡在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn) ： (?( p, r)???)(? ( p, r)?X ?)。我們將假定 ： 在這些假定下，消費(fèi)者的需求影射 x = ? ( p, r) 由邊際方程唯一確定。 (一 ) 基本矩陣方程 假定價(jià)格 p發(fā)生了微小變化 ，收入 r 發(fā)生了微小變化 d r，引起需求發(fā)生變化 (不帶轉(zhuǎn)置符號(hào) “ T” 的向量均可看成行矩陣 )，同時(shí)引起拉氏乘數(shù) ? 發(fā)生微小變化 d? 。 Tpppp )ddd(d 21 ??? 注意， ? p = u?(x)。 矩陣 S 叫做 斯勒茨基矩陣 ，其元素 shk 叫做 斯勒茨基系數(shù) 。0 ?? TT zppZ 0?TSp ),2,1(01??? ????hpsk khk 求解基本矩陣方程： 于是得到方程 ，叫做 斯勒茨基方程 。 從微分公式又可得到 需求對(duì)價(jià)格和收入的 導(dǎo)數(shù)公式 ： 即 3. 需求變動(dòng)的微分公式與導(dǎo)數(shù)公式 rzpxzx TT dd)(d ??? S? ?? ???????????????????TTkhhkTzzzzrxxzsxzpx????21S),2,1,( ?????????????????khzrxxzspxhhkhhkkh(二 ) 價(jià)格與收入變動(dòng)的效應(yīng)分析 當(dāng)商品價(jià)格不發(fā)生變化而收入發(fā)生變化時(shí)，商品的需求量明顯地會(huì)受到影響。 然而，現(xiàn)實(shí)中還常會(huì)遇到這樣的情況：某種商品的價(jià)格并未變化，消費(fèi)者收入也未變化，該種商品的需求量卻發(fā)生了變化。 價(jià)格變化導(dǎo)致消費(fèi)者實(shí)際收入水平發(fā)生變動(dòng)，從而產(chǎn)生 收入效應(yīng) ；價(jià)格變動(dòng)還引起商品便宜貴賤情況發(fā)生相對(duì)變化，從而產(chǎn)生替代。 價(jià)格與收入變動(dòng)引起的需求總變動(dòng)叫做 總效應(yīng) ，它等于替代效應(yīng)與收入效應(yīng)之和： 總效應(yīng) = 收入效應(yīng) + 替代效應(yīng) 。結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式，可把微分公式進(jìn)一步寫(xiě)成： 價(jià)格和收入變動(dòng)引起的實(shí)際收入變動(dòng)包括兩部分：一是 dr；另一是價(jià)格變動(dòng)引起的實(shí)際收入變動(dòng)。 把這兩部分變動(dòng)加在一起，便得到價(jià)格和收入變動(dòng)引起的實(shí)際收入總變動(dòng)，其值為 dr ? xdp。 rxpxrppxrzpx T ???????? )dd(d)dd(dd SS 根據(jù) ?xh /?r 的含義，可把 ?xh /?r 叫做 商品 h的 收入效應(yīng)系數(shù) ，把列向量 ?x /?r 叫做商品 h 的 收入效應(yīng)系數(shù)向量 。 2. 價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng) 在收入效應(yīng) (dr – xdp) ?x /?r 中，第一項(xiàng) dr ?x /?r 表示直接由收入變動(dòng)所產(chǎn)生的效應(yīng)，屬于 直接收入效應(yīng) ；第二項(xiàng) (– xdp)?x /?r表示由價(jià)格變動(dòng)引起實(shí)際收入變動(dòng)，進(jìn)而由實(shí)際收入變動(dòng)所引起的需求變動(dòng)，是一種 間接收入效應(yīng) ，純粹反映了 價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng) 。 注意， 。可見(jiàn)，系數(shù) xk ?xh /?r 具有特殊的意義：它表示 商品 k 的價(jià)格上升一單位 (其余商品價(jià)格及名義收入都不變 )時(shí) ， 因?qū)嶋H收入相對(duì)下降而引起的商品 h 的需求減少量 。 Thhh rxrxrxpxrxpx ????????????????????? ?211)d()d(? 商品 h 對(duì) k 的 (價(jià)格 )收入效應(yīng)系數(shù) ? hk 表示純粹由商品 k 的價(jià)格變動(dòng)對(duì)商品 h 的需求產(chǎn)生的收入效應(yīng)率 。因此 , Sdp代表價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)。價(jià)格變動(dòng) dp 引起消費(fèi)者實(shí)際收入發(fā)生變動(dòng) ?xdp，此時(shí)，讓收入 r 發(fā)生一個(gè)補(bǔ)償性的變化 dr = xdp，則可保證實(shí)際收入水平不變： dr – xdp = 0。由此可見(jiàn)， Sdp表示 當(dāng)價(jià)格發(fā)生變動(dòng)時(shí)，給消費(fèi)者進(jìn)行收入補(bǔ)償以使實(shí)際收入水平不變，而發(fā)生的商品需求量的變動(dòng)量 ，這正是 替代效應(yīng) ?？梢?jiàn)，斯勒茨基系數(shù)具有特殊的意義： ? 斯勒茨基系數(shù) shk 表示在實(shí)際收入水平不變的條件下 ， 商品 k 的價(jià)格上升一單位所引起的商品 h 的需求增加量 。如果對(duì)消費(fèi)者進(jìn)行收入補(bǔ)償使其實(shí)際收入不變，則需補(bǔ)償 xk 個(gè)單位的收入，這引起商品 h的需求量增加 xk ?xh /?r個(gè)單位。這就從經(jīng)濟(jì)意義上進(jìn)一步闡明了 shk = ?xh /?pk + xk ?xh /?r 的必然性。 根據(jù) ?xh /?pk = shk – zh xk， zh= ?xh /?r ( h, k = 1, 2,?, ? ) 可知， (三 ) 替代矩陣與需求變動(dòng)的特點(diǎn) 鑒于斯勒茨基系數(shù)的替代效應(yīng)意義，斯勒茨基矩陣 S 可稱作 替代效應(yīng)系數(shù)矩陣 ，簡(jiǎn)稱 替代矩陣 。 ? 替代效應(yīng)的實(shí)際支出不變 ： 解釋 ：在商品 k的價(jià)格上升一單位情況下，各種商品 h的替代效應(yīng)分別為 shk (h = 1,2, ?,?)。所以，替代效應(yīng)的實(shí)際支出不變。011?? ??????????hhhhhhT rxpzppzp S),2,1(0i . e .,01??? ?????kpsphhhkS? 增加的收入等于增加的支出 ： 1i . e .,11?? ?????hhhT rxppz? ?? 1h hhk ps解釋 ：收入增加一單位引起支出增加 ，其值為 1。 從現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活看，替代效應(yīng)的對(duì)稱性也是必然的，它來(lái)自于現(xiàn)實(shí)中 商品替代的相互性 ： 另一種商品能夠替代這一種 ， 那么這一種商品也就能夠替代另一種商品 ； 同時(shí) ， 另一種商品是以怎樣的程度來(lái)對(duì)這一種商品產(chǎn)生替代作用的 ， 那么這一種商品也就以怎樣的程度來(lái)對(duì)另一種商品產(chǎn)生替代作用 。從這一點(diǎn)上說(shuō)， 基于偏好的需求符合現(xiàn)實(shí)需求的特點(diǎn)和規(guī)律 。 ),2,1,( ???????????????? khsrxxpxrxxpxs khkhhkhkkhhk 進(jìn)一步，可以證明：替代矩陣 S 是半負(fù)定的。 這樣，在沒(méi)有收入補(bǔ)償?shù)那闆r下，正常商品的價(jià)格上漲必然導(dǎo)致商品的需求量下降，原因在于正常商品的收入效應(yīng)系數(shù)為正。替代矩陣的半負(fù)定性說(shuō)明了這一現(xiàn)象，可見(jiàn) 基于偏好的需求 能夠描述實(shí)際現(xiàn)象， 符合現(xiàn)實(shí)需求的特點(diǎn)和規(guī)律 。 盡管可以證明替代矩陣半負(fù)定，但不可祈求替代矩陣負(fù)定。 例 3. 奇異的替代矩陣 消費(fèi)集合： 效用函數(shù)： 需求函數(shù)： 3. 不可祈求替代矩陣負(fù)定 計(jì)算行列式： 。 2?? RX?10w h e r e)()( 2121 ???? ?? ??? Rxxxxu???????221111),(),(prrpxprrpx????2222221211212111 1,)1(,0。任何商品的替代效應(yīng) shh都非正，而 正常商品價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng) ? xh ?xh??r為負(fù) ，故才有正常商品服從需求法則： ?xh??ph 0。 特別是 ， 低檔商品價(jià)格 變動(dòng)的收入效應(yīng) ? xh ?xh??r 非負(fù) 。只有當(dāng) shh ? xh ?xh??r 時(shí)，即替代效應(yīng)的絕對(duì)值不小于收入效應(yīng)的絕對(duì)值，才有 ?xh??ph ? 0。這種商品叫做 吉芬商品 ，它違背了需求法則，價(jià)格上升時(shí)，其需求量不降，反而上升。 初、中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，商品之間的替代性與互補(bǔ)性是通過(guò)一種商品的需求對(duì)另一種商品的價(jià)格的導(dǎo)數(shù)正負(fù)來(lái)判斷的：導(dǎo)數(shù)為正既代表 “ 替代 ” ；導(dǎo)數(shù)為負(fù)則代表 “ 互補(bǔ) ” 。正確的方法應(yīng)該是使用替代效應(yīng)系數(shù)來(lái)判斷： 5. 商品消費(fèi)中替代現(xiàn)象的普遍性 01 ?? ??h hhk ps從 skk ? 0 及 可知： ? 替代品 ： 當(dāng) shk 0 時(shí) ， 商品 h 與 k 互為替代品 。 ? 獨(dú)立品 ： 當(dāng) shk = 0 時(shí) ， 商品 h 與 k 之間相互獨(dú)立 。 因此可以說(shuō)， 在消費(fèi)活動(dòng)中 ， 商品之間的替代現(xiàn)象比互補(bǔ)現(xiàn)象更為普遍一些 。但這是一個(gè)微分等式，在實(shí)際操作中不好把握。 ),( rpu? ?)0()0dd()0(d)1amp。這樣一來(lái)， “ 實(shí)際收入不變 ” 就是說(shuō) “ 效用水平不變 ” ?？梢?jiàn)， 。所以， 羅伊恒等式再次說(shuō)明了 實(shí)際收入不變 (d r = x d p)意味著效用水平不變 。需求映射 x = ?( p, r) 的這些普通特點(diǎn)可以總結(jié)歸納如下。 ? 對(duì)稱半負(fù)定 ： S = (shk)在 任何 ( p, r)???處都是對(duì)稱的半負(fù)定矩陣 ， ? ?),(),()0)(),(( rptrtptrp ?? ??????? ?rrpprp ???? ),()),(( ?其中 。如果一個(gè)關(guān)于價(jià)格和收入的映射能夠具有如上四條性質(zhì)，那么該映射就可看成是某個(gè)消費(fèi)者的需求映射。 2. 推導(dǎo)需求基本矩陣方程。證 明：