【正文】 ?1000 = 1500（元） ER2 = ?1510 + ?510 = 1500（元） ? 兩種職業(yè)的風(fēng)險(xiǎn) ?1178。： ? 比較 ：雖然兩種工作的預(yù)期月收入都為 1500元，但第一種工作的收入風(fēng)險(xiǎn)高于第二種工作： ?1178。那么，這個(gè)人究竟會(huì)選擇哪一種工作呢？這就取決于該人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。風(fēng)險(xiǎn)厭惡者不喜歡冒險(xiǎn)，會(huì)選擇收入比較穩(wěn)定、風(fēng)險(xiǎn)較小的第二種工作；風(fēng)險(xiǎn)愛好者喜歡冒險(xiǎn)，不冒險(xiǎn)就發(fā)不了財(cái)，會(huì)選擇有獲得高收入的機(jī)會(huì)但風(fēng)險(xiǎn)較大的第一種工作。 ?1178。 + ?(11001600)178。 = ?(15101500)178。 = 9900 第一種工作雖然比第二種具有更多的預(yù)期收入，但同時(shí)也比第二種工作承擔(dān)更大的風(fēng)險(xiǎn)。 二、風(fēng)險(xiǎn)選擇與預(yù)期效用 在上面的事例分析中，自然而然地使用了效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望作為風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中的目標(biāo)函數(shù)。然而，這種做法存在著以下幾個(gè)問題： ? 預(yù)期效用是平均值，并不是能夠?qū)嶋H得到的效用，人們?yōu)槭裁匆眠@種效用值作為追求的目標(biāo)？ ? 表達(dá)同一篇好的效用函數(shù)無限多，不同效用函數(shù)下計(jì)算的預(yù)期效用不同，這是否會(huì)產(chǎn)生評(píng)價(jià)上的矛盾？ ? 是不是在計(jì)算預(yù)期效用的時(shí)候不需要分辨效用函數(shù)，而只需要一個(gè)確定性意義下的效用函數(shù) (用來計(jì)算 )就足夠了 ？ 這些問題可總歸為對(duì)不確定性行為進(jìn)行評(píng)價(jià)的背后是否有預(yù)期效用作為支持的問題。 (一 ) 風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境 所謂 風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境 是指這樣的一種選擇環(huán)境，其中人們究竟會(huì)選擇到哪一種結(jié)果依賴于一些自然狀態(tài)，而這些自然狀態(tài)的出現(xiàn)與否是隨機(jī)的。 彩票環(huán)境就是一種典型的風(fēng)險(xiǎn)選擇環(huán)境，每種彩票在發(fā)行之時(shí)都要公布各種獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)量以及彩票發(fā)行的數(shù)量，因而彩票中獎(jiǎng)的概率分布從客觀上講是確定的。用 F 表示 ? 上 的 事件域 ，其中每個(gè)事件發(fā)生的概率都客觀存在；用 P : F ?[0,1] 表示 事件域 F 上這個(gè)客觀存在的 概率測(cè)度 。 ? 概率空間 (?,F,P)準(zhǔn)確表達(dá)了從而代表著人們所處的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境 。假定 X 為凸閉集。這樣一來，在風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中，消費(fèi)者的選擇行為是概率空間 (?,F, P)上的一個(gè)隨機(jī)向量 ? : ? ? X 。表達(dá)風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中消費(fèi)者的風(fēng)險(xiǎn)選擇行為的空間是由所有的隨機(jī)向量 ? : ? ? X 組成的集合 X ： X = {? | ? : ? ? X 是 (?, F, P) 上的 隨機(jī)向量 } 這個(gè)集合 X 就叫做消費(fèi)者的 風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 或 風(fēng)險(xiǎn)選擇空間 。 每個(gè) x?X 都可看成是 X中 退化的隨機(jī)向量 ? x： (????)(? x(?) = x)。在概率論中，幾乎處處相同的隨機(jī)向量被視為相同。 退化的隨機(jī)向量 是指幾乎處處為常值的隨機(jī)向量。 ? X中幾乎處處相同的風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)是相同的行動(dòng) 。 ? 退化風(fēng)險(xiǎn)行為 x?X 的預(yù)期結(jié)果就是 x， 即 。 X?? ),( 21 ?? ????])[,],[],[(][ 21 ?? ???? EEEE ?xExE x ?? ][][ δ? 定義 給定實(shí)數(shù) p?[0, 1]， ? 與 ? 的 復(fù)合行為 p? ? (1 p)? 是指這樣的行為 ： 以概率 p 采取風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng) ?， 以概率 1 p采取風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng) ?。 設(shè) A 為某個(gè)隨機(jī)事件，其發(fā)生的概率為 p。也就是說 , ? : ? ? X 是這樣定義的隨 機(jī)向量：對(duì)任何 ???， 。 ??????AA????????if),(if),()(3. 復(fù)合行為的分布函數(shù) ? 分布函數(shù) 風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng) ??X的 分布函數(shù) f 是商品空間 上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)使得 。 證明：任意給定實(shí)數(shù) p?[0, 1]，并 設(shè) A 是概率為 p的隨機(jī)事件。為此，任意給定 。根據(jù)全概公式，我們有： ?R}))({)()(( xPxfRx ????? ????Rx?)()1()(})({)1(})({}))(({)1(}))(({)()()()()(})({xgpxfpxPpxpPAxPpAxpPABPAPABPAPBPxPccc????????????????????????????????這就證明了 p f +(1? p) g 是復(fù)合行為 p? ?(1? p)? 的分布函數(shù)。這樣，風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 X 也可以用分布函數(shù)集合 D 來表示，并可直接 把 D叫做 風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 ： D = { f : f 是 X中的隨機(jī)向量的分布函數(shù) } ? 對(duì)任何 x?X， 可用退化分布函數(shù) ? x 來表示 x， 從而 X ? D。 ?Rz???? ???ort he rw i s e,0if,1)( zxzx? 事實(shí)上，前面的論述和定理已經(jīng)證明了 D為凸集這一事實(shí)，即 (?f, g?D)(?p?[0,1])( p f + (1 p) g ? D) 這充分展現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的凸性表現(xiàn)的客觀必然性。 D的凸性會(huì)為分析問題帶來方便，因而通?？偸怯?D來代替 X。 (二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 用確定性選擇集合 X 上的效用函數(shù) U(x)，來計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)活動(dòng) f ?D的預(yù)期效用 EU( f )： ， 便給出了 D上的一個(gè)實(shí)值函數(shù) EU : D?R。 在集合 X 中，消費(fèi)者是以效用函數(shù) U(x) 為目標(biāo)函數(shù)來進(jìn)行評(píng)價(jià)和選擇的。那么事實(shí)果真如此嗎？也就是說，函數(shù) EU( f )能否作為消費(fèi)者在風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 D上的效用函數(shù)？ 要回答這個(gè)問題，必須從消費(fèi)者在風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 D 上的偏好關(guān)系 p 出發(fā)，因?yàn)橄M(fèi)者的評(píng)價(jià)是依據(jù)偏好 p 進(jìn)行的。由此可見，風(fēng)險(xiǎn)選擇集合 D上的偏好關(guān)系 p 是否可用預(yù)期效用函數(shù)加以表示，便成為不確定性選擇理論中的基本問題。這種評(píng)價(jià)便形成了消費(fèi)者的偏好關(guān)系 p ： ( f p g) ? (( f p g)?( f ~ g))，稱為 風(fēng)險(xiǎn)偏好(risky preference)。 既然 X ? D，風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 便決定了消費(fèi)者的確定性偏好，即規(guī)定好了 X 上的偏好關(guān)系：對(duì)任何 x, y?X， x p y 是指 ? x p ? y。 一個(gè)函數(shù) u: D?R叫做風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 的 效用函數(shù) ，是指 u 滿足這樣的條件： (?f, g?D)( ( f p g) ? (u( f ) ? u(g)) )。 從確定性選擇集合 X 上的效用函數(shù) U(x) 出發(fā)，給出的預(yù)期效用函數(shù) EU : D?R 具有 凸線性性 ： 據(jù)此，我們把預(yù)期效用函數(shù)的概念加以擴(kuò)大，凡是具有這個(gè)性質(zhì)的實(shí)值函數(shù)，都可叫做預(yù)期效用函數(shù)。這樣，我們就有下述定義。 3. 預(yù)期效用公理 那么，風(fēng)險(xiǎn)偏好究竟能不能用預(yù)期效用函數(shù)加以表示？即風(fēng)險(xiǎn)偏好的預(yù)期效用函數(shù)是否存在？ 如果這個(gè)問題能夠得到肯定的回答，那么就可以說，在風(fēng)險(xiǎn)選擇活動(dòng)中，人們是依照預(yù)期效用大小進(jìn)行選擇的。 ? 阿基米德公理 ? 獨(dú)立性公理 ? 連續(xù)性公理 (1 q) f + qg (1 p) f + pg (1) 阿基米德公理 ? 阿基米德公理 風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 滿足如下條件：對(duì)任何 f, g, h?D， 如果 f p h p g，則存在 p, q?(0,1) 使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 既然 f p g，以概率 p?(0, 1) 進(jìn)行的復(fù)合行為 (1?p) f + pg 的優(yōu)劣性就應(yīng)介于 f 與 g 之間： f p (1? p) f + pg p g。這樣，復(fù)合行為 (1?p) f + pg 的優(yōu)劣性與 p 成正比。 (1 p)g +ph (1 p) f + ph (2) 獨(dú)立性公理 ? 獨(dú)立性公理 風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 滿足如下條件：對(duì)任何 f, g, h?D 及任何實(shí)數(shù) p?[0,1]， 如果 f p g，則 (1? p) f + ph p (1? p) f + p h。 在復(fù)合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph中， 以相同的概率 p采取相同的行動(dòng) h，又分別以相同的概率 (1?p)采取不同的行動(dòng) f 和 g。 (3) 連續(xù)性公理 ? 連續(xù)性公理 風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 滿足如下條件：對(duì)任何 f , g, h?D， 集合{ p?[0,1] : (1? p) f + p g p h }和 { p?[0,1] : (1? p) f + p g ? h }都是閉區(qū)間 [0, 1]的閉子集 。則對(duì)復(fù)合行為 (1? p) f + p g的評(píng)價(jià)應(yīng)該與概率 p 成正比： 選擇更好行為 g 的可能性越大 ， 復(fù)合行為越好 。 連續(xù)性公理比阿基米德公理的要求更高 ， 它可以替代阿基米德公理 。 p 可用預(yù)期效用函數(shù)來表示 當(dāng)且僅當(dāng) p 服從阿基米德公理和獨(dú)立性公理。 ? 注釋 1 預(yù)期效用公理是關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)選擇行為理性的公理。 ? 注釋 2 當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 具有預(yù)期效用表示時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)空間 D 中的無差異曲線必是凸集，從而是 “ 直線 ”： 對(duì)任何 f, g ? D，如果 f ~ g，則 (?p?[0,1])( pf +(1?p)g ~ f )。 通常的預(yù)期效用函數(shù)是通過確定性選擇集合 X 上的確定性效用函數(shù)的積分來表達(dá)的，因此還需要研究積分形式的預(yù)期效用函數(shù)的存在性：如果 p 是 D 上的偏好關(guān)系，那么是否存在函數(shù) U : X ? R 使得 EU : D ? R 成為 p 的效用函數(shù)？ 最早涉及這個(gè)問題研究的是數(shù)學(xué)家 馮 ?諾伊曼 和 摩根斯頓 。準(zhǔn)確地說，我們給出如下定義。 ?? X xfxUfEU )(d)()(1. 可測(cè)偏好與單調(diào)性公理 為了 VNM 效用函數(shù)的存在性，需要假定 風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中的狀態(tài)空間 ?是確定性選擇集合 X： ? = X。 于是，風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境 (?,F,P)為概率空間 (X,F,P)： (?,F,P) = (X,F,P) ? 定義 (可測(cè)偏好 ) 風(fēng)險(xiǎn)偏好關(guān)系 p 叫做是可測(cè)的 ， 是指對(duì)任何 x? X， 集合 {y?X : y p x}和 {y?X : y ? x}都是 F 的元素 ， 即都是概率空間 (X,F,P) 中的可測(cè)集合 。 2. VNM效用函數(shù)存在定理 ? 定理 (積分形式 ) 設(shè) (?, F, P) = (X, F, P) 且 (?x?X )({x}?F )。 ?風(fēng)險(xiǎn)行為準(zhǔn)則 ：預(yù)期效用函數(shù)存在定理及 VNM效用存在定理告訴我們，在風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中，人們實(shí)際上是根據(jù)預(yù)期效用來對(duì)各種可能的風(fēng)險(xiǎn)活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后作出選擇的。 ?值得注意： VNM效用函數(shù)存在定理 并沒有說 只要一個(gè)定義在 X上的實(shí)值函數(shù) U(x)是風(fēng)險(xiǎn)偏好 p 在 X 上的限制 的效用函數(shù)，即只要 U(x) 是消費(fèi)者的確定性效用函數(shù)，那么從 U(x) 得出的預(yù)期效用函數(shù) EU( f ) = ?X U(x) df (x) 就是 p 的 (預(yù)期 )效用函數(shù)！ Xp三、無常選擇與主觀概率 現(xiàn)在討論第二種不確定性：無常性 (uncertainty)，即不但經(jīng)濟(jì)人的選擇結(jié)果不確定，而且連選擇到某種結(jié)果的概率都不存在，因而是完全地不確定。 事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，決策者涉及的概率一般都是主觀概率與客觀概率的混合體，決策者對(duì)事物的判斷既有主觀的成分，也有客觀的因素。 (一 ) 無常環(huán)境 無常環(huán)境是指完全不確定的選擇環(huán)境，其中既不能確定經(jīng)濟(jì)人會(huì)選擇到那種具體結(jié)果，又不能確定選擇到某種結(jié)果的概率。仍用 ? 表示這些自然狀態(tài)的全體，稱為 狀態(tài)空間 。這樣一來，在無常環(huán)境中，狀態(tài)空間 ? 的任何子集都可以叫做 事件 ，因而事件域 F 是 ? 的 冪集 ： F = P = P(?)，即 ?的子集的全體。 既然在無常環(huán)境中，經(jīng)濟(jì)行為受制于狀態(tài)空間，特別是受制于不確定事件，因此，空間 (?, P)便代表著經(jīng)濟(jì)人所處的無常環(huán)境。 我們依然用 X 表示確定性選擇集合，即一切可能的選擇結(jié)果的集合，并依然假定 ? = X 。這樣，無常環(huán)境為 (?, P ) = (X, P)。 在無常環(huán)境 (?, P ) 中，經(jīng)濟(jì)人的選擇行為 (即 無常行為 )可用映射 ? : ??X 來表示 ，含義是說， 當(dāng)狀態(tài) ???出現(xiàn)時(shí) , 選擇 ?(?)?X ；但不知道究竟會(huì)選擇到哪一個(gè)結(jié)果，也不知道選擇到 X 中某個(gè)結(jié)果的概率有多大 。 對(duì)于 ??X ，集合 ?[?]={?(?): ???}稱為無常行為 ? 的 結(jié)果集合 。 (二 ) 無常選擇集合 ? 兩種無常行為的復(fù)合