【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)的概念加以擴大，凡是具有這個性質(zhì)的實值函數(shù)，都可叫做預期效用函數(shù)。同時，把凸線性性叫做預期效用性質(zhì)，作為對預期效用函數(shù)基本性質(zhì)的刻畫。這樣，我們就有下述定義。 ))(d)()(( ?? X xfxUfEU))()1()())1((])(1,0[)(,( gEUpfp E UgpfpEUpgf ????????? D?定義 凡是具有如下性質(zhì)的函數(shù) u: D?R 都叫做 預期效用函數(shù) ： (?f, g?D)(?p?[0,1])( u( pf +(1 p) g) = pu( f )+(1 p) u(g) ) 這條性質(zhì)也就叫做 預期效用性質(zhì) 。 3. 預期效用公理 那么，風險偏好究竟能不能用預期效用函數(shù)加以表示？即風險偏好的預期效用函數(shù)是否存在？ 如果這個問題能夠得到肯定的回答，那么就可以說，在風險選擇活動中，人們是依照預期效用大小進行選擇的。 為了得到了肯定的答案，人們對風險偏好提出了一些公理，通稱為 預期效用公理 ，主要包括： ?定義 當預期效用函數(shù) u: D?R 成為風險偏好 p 的效用函數(shù)時，即 (?f, g?D)( ( f p g) ? (u( f ) ? u(g) ) 就稱 u 是 p 的 預期效用函數(shù) 或 預期效用表示 。 ? 阿基米德公理 ? 獨立性公理 ? 連續(xù)性公理 (1 q) f + qg (1 p) f + pg (1) 阿基米德公理 ? 阿基米德公理 風險偏好 p 滿足如下條件：對任何 f, g, h?D， 如果 f p h p g，則存在 p, q?(0,1) 使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 f h g 阿基米德公理 本公理的合理性解釋 ：設 f, g, h?D且 f p h p g。 既然 f p g，以概率 p?(0, 1) 進行的復合行為 (1?p) f + pg 的優(yōu)劣性就應介于 f 與 g 之間： f p (1? p) f + pg p g。 p 越大，采取較差行為 f 的概率越小，采取較好行為 g 的概率越大，從而復合行為 (1?p) f + pg 越好。這樣，復合行為 (1?p) f + pg 的優(yōu)劣性與 p 成正比。 現(xiàn)在， f p h p g，那么就應該有某個較小的概率 p 和某個較大的概率 q，使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 (1 p)g +ph (1 p) f + ph (2) 獨立性公理 ? 獨立性公理 風險偏好 p 滿足如下條件：對任何 f, g, h?D 及任何實數(shù) p?[0,1]， 如果 f p g，則 (1? p) f + ph p (1? p) f + p h。 f g h 獨立性公理 本公理的合理性解釋 ： 設 f, g, h?D且 f p g。 在復合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph中， 以相同的概率 p采取相同的行動 h，又分別以相同的概率 (1?p)采取不同的行動 f 和 g。這樣一來，這兩種復合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph 究竟哪一個更優(yōu)，便完全取決于 f 與 g 哪一個更優(yōu) , 而與第三種行為 h的優(yōu)劣性無關(guān) (即獨立于第三種行為 )。 (3) 連續(xù)性公理 ? 連續(xù)性公理 風險偏好 p 滿足如下條件：對任何 f , g, h?D， 集合{ p?[0,1] : (1? p) f + p g p h }和 { p?[0,1] : (1? p) f + p g ? h }都是閉區(qū)間 [0, 1]的閉子集 。 f g h 連續(xù)性公理 本公理的合理性解釋 ： 設 f, g, h?D且 f p g。則對復合行為 (1? p) f + p g的評價應該與概率 p 成正比： 選擇更好行為 g 的可能性越大 ， 復合行為越好 。這樣一來，由不比 h 優(yōu)的復合行為中的概率 p 構(gòu)成的集合應該是 [0, 1]的閉子集；由不比 h差的復合行為中的概率 p構(gòu)成的集合也應該是 [0, 1]的閉子集。 連續(xù)性公理比阿基米德公理的要求更高 ， 它可以替代阿基米德公理 。 })1(:]1,0[{],[ hpgfppgf h ??????})1(:]1,0[{],[ hpgfppgf h p??????hgf ],[?hgf ],[3. 預期效用函數(shù)存在定理 ? 定理 設 p 是風險選擇集合 D上的偏好關(guān)系。 p 可用預期效用函數(shù)來表示 當且僅當 p 服從阿基米德公理和獨立性公理。 當 p 具有預期效用表示時， p 的預期效用函數(shù)在仿射變換下是唯一的：若 u 和 v 都是 p 的預期效用表示，則存在實數(shù) a 和 b 使得對一切 f ?D 都有 v( f ) = a + b u( f ) 成立。 ? 注釋 1 預期效用公理是關(guān)于風險選擇行為理性的公理。即使 f 與 g是確定性的行為 (退化的風險行動 )，復合行為 (1?p) f + pg 也是風險行動。 ? 注釋 2 當風險偏好 p 具有預期效用表示時，風險空間 D 中的無差異曲線必是凸集，從而是 “ 直線 ”： 對任何 f, g ? D，如果 f ~ g，則 (?p?[0,1])( pf +(1?p)g ~ f )。 fggppf )1( ??D 無差異曲線 gf ~(三 ) VNM效用函數(shù) 預期效用函數(shù)存在定理雖然保證了風險偏好存在一般意義上的預期效用函數(shù)，但還不能保證通常意義上的預期效用函數(shù)也存在。 通常的預期效用函數(shù)是通過確定性選擇集合 X 上的確定性效用函數(shù)的積分來表達的，因此還需要研究積分形式的預期效用函數(shù)的存在性：如果 p 是 D 上的偏好關(guān)系，那么是否存在函數(shù) U : X ? R 使得 EU : D ? R 成為 p 的效用函數(shù)？ 最早涉及這個問題研究的是數(shù)學家 馮 ?諾伊曼 和 摩根斯頓 。后人便把能使 EU 表達風險偏好的這個函數(shù) U : X?R 叫做 von NeumannMenstern效用函數(shù) ，簡稱 VNM效用函數(shù) 。準確地說，我們給出如下定義。 ? 定義 (VNM效用函數(shù) ) 函數(shù) U : X?R 叫做風險偏好 p 的 VNM效用函數(shù)，是指從 U 出發(fā)給出的函數(shù) EU : D ? R 是 p 的效用函數(shù)，其中 EU 的定義為 ： 對任何 f ?D， 。 ?? X xfxUfEU )(d)()(1. 可測偏好與單調(diào)性公理 為了 VNM 效用函數(shù)的存在性，需要假定 風險環(huán)境中的狀態(tài)空間 ?是確定性選擇集合 X： ? = X。這個假設是說，消費者能夠?qū)γ看物L險行動中 “ 選擇到 X 的某子集 B 中的向量 ” 的概率大小做出估計，也即可把風險環(huán)境中的隨機事件直接看成是 “ 選擇結(jié)果落在 X 的某個子集中 ”。 于是，風險環(huán)境 (?,F,P)為概率空間 (X,F,P)： (?,F,P) = (X,F,P) ? 定義 (可測偏好 ) 風險偏好關(guān)系 p 叫做是可測的 ， 是指對任何 x? X， 集合 {y?X : y p x}和 {y?X : y ? x}都是 F 的元素 ， 即都是概率空間 (X,F,P) 中的可測集合 。 ? 單調(diào)性公理 對任何 ??X 及 x?X， 如果 P{?(?) p x}=1， 即 ?(?) p x 對幾乎所有的 ???都成立 ， 則 ? p x； 如果 P{?(?) ? x}=1， 即 ?(?) ? x 對幾乎所有的 ???都成立 ， 則 ? ? x。 2. VNM效用函數(shù)存在定理 ? 定理 (積分形式 ) 設 (?, F, P) = (X, F, P) 且 (?x?X )({x}?F )。 如果 p 是 D 上的可測偏好關(guān)系并且服從阿基米德公理 、 獨立性公理和單調(diào)性公理，則存在一個有界可測函數(shù) U : X ? R 滿足如下條件： (? f, g?D) (( f p g) ? ( ?X U(x) df (x) ? ?X U(x) dg(x) )) 即存在 p 的 VNM效用函數(shù) 。 ?風險行為準則 ：預期效用函數(shù)存在定理及 VNM效用存在定理告訴我們，在風險環(huán)境中，人們實際上是根據(jù)預期效用來對各種可能的風險活動進行評價，然后作出選擇的。這樣，人們的 風險行為準則 必然是 預期效用最大化 。 ?值得注意： VNM效用函數(shù)存在定理 并沒有說 只要一個定義在 X上的實值函數(shù) U(x)是風險偏好 p 在 X 上的限制 的效用函數(shù)，即只要 U(x) 是消費者的確定性效用函數(shù)，那么從 U(x) 得出的預期效用函數(shù) EU( f ) = ?X U(x) df (x) 就是 p 的 (預期 )效用函數(shù)！ Xp三、無常選擇與主觀概率 現(xiàn)在討論第二種不確定性：無常性 (uncertainty)，即不但經(jīng)濟人的選擇結(jié)果不確定，而且連選擇到某種結(jié)果的概率都不存在，因而是完全地不確定。 在這種完全不確定的環(huán)境中，由于不存在事件發(fā)生的概率，經(jīng)濟人在決策時就要靠經(jīng)驗、靠感覺、靠信息來對事件發(fā)生的可能性作出主觀判斷，這就形成了所謂的 主觀概率 ，它因人而異。 事實上，現(xiàn)實經(jīng)濟活動中，決策者涉及的概率一般都是主觀概率與客觀概率的混合體，決策者對事物的判斷既有主觀的成分，也有客觀的因素。 我們關(guān)心的問題是： 無常環(huán)境中，人們的行為準則是什么 ？ 是否依然是預期效用最大化 ？ 關(guān)于選擇行為的何種公理體系，能夠用于推斷主觀概率的存在？ 1954年，薩維奇研究了這些問題，構(gòu)建出了無常選擇公理體系，并在 1972年又進行了修正和完善。 (一 ) 無常環(huán)境 無常環(huán)境是指完全不確定的選擇環(huán)境，其中既不能確定經(jīng)濟人會選擇到那種具體結(jié)果，又不能確定選擇到某種結(jié)果的概率。 無常環(huán)境有著類似于風險環(huán)境的地方：經(jīng)濟人的選擇結(jié)果依賴于一些不確定的因素 —— 無常因素，叫做自然狀態(tài)。仍用 ? 表示這些自然狀態(tài)的全體，稱為 狀態(tài)空間 。 無常環(huán)境區(qū)別于風險環(huán)境的地方，在于無常環(huán)境中沒有客觀存在的不確定事件發(fā)生概率，而風險環(huán)境中有。這樣一來，在無常環(huán)境中，狀態(tài)空間 ? 的任何子集都可以叫做 事件 ，因而事件域 F 是 ? 的 冪集 ： F = P = P(?)，即 ?的子集的全體。而風險環(huán)境中，事件域 F由 ?的一部分子集組成，特別是當 ?為無限集合時， F?? P(?)。 既然在無常環(huán)境中，經(jīng)濟行為受制于狀態(tài)空間，特別是受制于不確定事件，因此，空間 (?, P)便代表著經(jīng)濟人所處的無常環(huán)境。 ? 無常環(huán)境 ： (?, P)， 其中 P = P(?)={A : A ? ?}。 我們依然用 X 表示確定性選擇集合，即一切可能的選擇結(jié)果的集合，并依然假定 ? = X 。在無常環(huán)境中，由于沒有客觀概率的存在，這個假定顯得更加合理： 直接把各種可能的結(jié)果視為各種可能的不確定因素 。這樣，無常環(huán)境為 (?, P ) = (X, P)。進一步，我們假定： X 是 實數(shù)集合 R 的子集 ， 即 X ? R(這是薩維奇定理的需要 )。 在無常環(huán)境 (?, P ) 中，經(jīng)濟人的選擇行為 (即 無常行為 )可用映射 ? : ??X 來表示 ，含義是說， 當狀態(tài) ???出現(xiàn)時 , 選擇 ?(?)?X ；但不知道究竟會選擇到哪一個結(jié)果，也不知道選擇到 X 中某個結(jié)果的概率有多大 。用 X 表示一切可能的無常行為的全體，即 X = {x: x 是 從 ? 到 X 的映射 } 稱為經(jīng)濟人的 無常 選擇集合 。 對于 ??X ，集合 ?[?]={?(?): ???}稱為無常行為 ? 的 結(jié)果集合 。注意， X 中的每種結(jié)果 x 都可看成 退化的無常行為 ? x： (????)(? x(?) = x)， 從而 X ? X。 (二 ) 無常選擇集合 ? 兩種無常行為的復合 設 ?,??X 且 A?P。 行為 ? 與 ? 通過事件 A 的復合行為 ， 記作 ， 是指這樣的一種 行為 ??X： 如果事件 A 發(fā)生 ， 則采取行動 ? ； 如果事件 A 沒有發(fā)生 ， 則采取行動 ?。 即 對任何 ???， 。 像風險行為的復合一樣，也可以把兩種或多種無常行為通過一個或多個事件復合起來，形成另一種無常行為。 (三 ) 無常行為的復合 ? 分劃 ?的 分劃 是指 P中的一組互不相交的事件 {A1, A2,? , An}使得 ， 即總都有且只有 {A1, A2,? , An}中一個事件發(fā)生。 ),( cAA ????