【文章內(nèi)容簡介】 斯需求函數(shù) ( i = 1,2,? ,?)。 顯然，希克斯需求映射具有下述三條性質(zhì)： 零階齊次性 ： 對任何 ( p, x)?? 及實數(shù) t 0，都有 h( t p, x) = h( p, x)。 效用不變性： 對任何 ( p, x)??， h( p, x) ~ x 。 反向變動性： 對任何 ( p, x), (q, x)??， ( p ? q)( h( p, x) ? h( q, x)) ? 0。即 價格與需求反向變動。 ? 四、效用與支出的對偶 從表面上看，效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化問題，支出最小化的?？怂剐枨笠矝]有考慮效用最大化問題。其實并非如此，效用最大化與支出最小化是相互對偶的問題。 ? 對偶定理 設消費集合 X 是 的下有界非空凸閉子集， ? 是無滿足的連續(xù)凸偏好。對任何 ( p, r)??? 和 ( p, x)??，都有： (1) (?z?D( p, r))( z?H( p, z))， 即效用最大時支出也最小 ； (2) (?z?H( p, x))( z?D( p, e( p, x)))， 即支出最小時效用也最大 ； (3) 如果 ? 還嚴格凸 , 則 ? ( p, r) = h( p, ? ( p, r))且 h( p, x) = ? ( p, e( p, x))。 對偶定理說明，馬歇爾需求與?？怂剐枨笠恢?。既然如此，消費最優(yōu)化問題就既可以從效用最大化出發(fā)，也可以從支出最小化出發(fā)來解決。鑒于這個原因，今后我們直接從效用最大化出發(fā)來研究消費者需求。凡提到需求，如無特殊說明，均指馬歇爾需求。 z ?R167。 3 消費者均衡 消費者均衡 是指 消費者的效用最大化狀態(tài) 。因此，也可以把馬歇爾需求向 量 x*?D( p, r) 叫做消費者的 均衡向量 。問題是：怎樣才能實現(xiàn)均衡？ 使用效用函數(shù)，可以對這個問題作出回答。為此，我們將根據(jù)具體情況，要使用如下一些假設中的一個或幾個： (1) (X, ? )是理性消費者 ， 即 X 滿足假設 HC， ? 連續(xù) 、凸、 無滿足 ； (2) ? 的 效用函數(shù) u: X ? R 滿足假設 HU； (3) 消費者均衡 x* 在消費集合內(nèi)部實現(xiàn) ， 即 x*?D( p, r) ? X ?。 rpxxu ?s . t .)(m a x假定價格體系為 p 0，消費者收入為 r。利用效用函數(shù) u(x)，效用最大化問題可表述為： max u(x) . px ? r。 在需求服從瓦爾拉定律的情況下，不等式約束 “ p x ? r” 可用等式約束 “ p x = r” 替代 ，從而效用最大化問題變得更加明確： 在需求服從瓦爾拉定律的情況下，效用最大化問題可用拉格朗日乘數(shù)法求解。首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L(x, ? ) = u(x) + ? (r – p x)；然后，設 x*?X ? 是效用最大化問題的解；最后，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，存在實數(shù) ? 使得 L(x, ? )在 (x*, ?) 處的各個一階偏導數(shù)全為零： 這就是說，消費者的均衡向量 x* 必然是方程組 的解。鑒于這個原因，我們把方程組 叫做 效用最大化 邊際方程 或 邊際等式 (marginal equation)，其中實數(shù) ? 叫做 拉格朗日乘 數(shù) ，簡稱 拉氏乘數(shù) ， 。 邊際方程的重要作用在于它表達了消費者實現(xiàn)效用最大化的一階條件：不但是必要條件，而且是充分條件。 一、 實現(xiàn)均衡的一階條件 ?????????????rxpxpxppxipxuu iii**22*11*),2,1(*)(????????????rpxpxu**)( ???????rpxpxu**)( ?* ) )(,* ) ,(* ) ,((*)(*)( 21 xuxuxuxuxu ?? ??????? 證明：在定理的條件下，效用最大化只能在預算線上實現(xiàn)，于是根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可知，存在實數(shù) ? 使得 u ?(x*) = ? p 且 p x* = r?，F(xiàn)在，我們只需證明拉氏乘數(shù) ? 0。 注意，定理的條件保證了 u?(x*) ? 0。 而 x*?D( p, r)? X ? 又保證了 u?(x*) ? 0，這是因為對任何 x?X，若 x x*， 則 px ? px* = r，從而 u(x) ? u(x*)。由此便可推知 u?(x*) ? 0。結(jié)果 u ?(x*) 0，故 ? 0。 ? 定理 (必要條件 ) 設理性消費者 (X, ?)的效用函數(shù) u: X ? R 在 X 內(nèi)部可微并且 (?x?X ?)(u ?(x) ? 0)。對任何價格向量 p 0、收入 r 及消費向量 x*?X ? ， 若 x*?D( p, r)(即 x*是消費者的均衡 )，則存在實數(shù) ? 0 使 u ?(x*) = ? p 且 p x* = r， 即 (x*, ?) 滿足邊際方程 ： (一 ) 一階必要條件 ?????????????rxpxpxppxipxuu iii**22*11*),2,1(*)(??????1. 必要條件的序數(shù)效用意義：替代法則 ? 邊際替代率 ：在消費方案 x 處，商品 i 對商品 j 的邊際替代率是指當商品 i 的消費增加一單位時 ， 在保持效用水平不變的情況下商品 j 的消費減少量 。即 MRSi, j = ?(d xj/d xi) = ui?(x) /uj?(x)。 ? 市場交換率 ： 商品 i 對商品 j 的市場替代率是指 市場上一個單位的商品 i 所能換得的商品 j 的數(shù)量 , 即 商品 i 與 商品 j 的價格比 pi /pj。 ? 替代法則 ： 均衡時，任何兩種商品之間的邊際替代率都等于市場交換率。 ??????????????rxpxpxppxjippxuxujiji**22*11*),2,1,(*)(*)(?????????jijippxuxu)()( 增加 i 的消費，減少 j 的消費，方可提高效用。 減少 i 的消費，增加 j 的消費，方可提高效用。 ????jijippxuxu)()(2. 必要條件的基數(shù)效用意義：邊際法則 ? 邊際效用均等法則 ： 均衡時，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費量，其所增加的效用都是一樣的； 拉格朗日乘數(shù) ? 就是均衡時 貨幣收入的邊際效用。 ?????????????????rxpxpxppxpxupxupxu**22*112211**)(*)(*)(?????? ? 如果把邊際方程中的效用函數(shù)理解為基數(shù)效用函數(shù)，則邊際方程蘊含著更深刻的意義：邊際效用均等法則。 增加 i 的消費，減少 j 的消費，方可提高效用。 減少 i 的消費，增加 j 的消費，方可提高效用。 ????jjiipxupxu )()(????jjiipxupxu )()((二 ) 一階 充分條件 ? 定理 (充分條件 ) 設消費集合 X 是 的凸子集，效用函數(shù) u(x) 連續(xù) 、 擬凹且在 X 內(nèi)部連續(xù)可微。則對任何價格向量 p 0、收入 r 及消費向量 x*?X ?， 若 存在實數(shù) ? 0 使 u ?(x*) = ? p 且 p x* = r， 則x*?D( p, r)(即 x*是消費者的均衡 )。 0*)()* ) ((*)(* ) )(*(l i m*)(*))1((l i m1*00???? ????????????? ??pxpxxxxutxuxxtxutxuxttxuiiiitt???R 證明 . 首先注意， u(x) 弱擬凹 (連續(xù) +擬凹 ? 弱擬凹 )。要證明 x* ?D( p, r)，就是要 證明 (?x?X )( ( p x ? r) ?(u(x) ? u(x*)) )。 第一步 ，先證明 (?x?X )( (u(x) ? u(x*)) ? ( p x ? r) )。 為此，任意給定 x?X 使得 u(x) ? u(x*)。 u的弱擬凹性保證了對任何 t?(0,1)，都有 u( t x+(1 t) x*) ? u(x*)。 于是， 既然 ? 0，因此 p x ? p x* = r。第一步的結(jié)論得證。 從 x*?X ?知，存在 w?X 使 w x*。由于 p 0，因此 pw px* = r。根據(jù)第一步的結(jié)論，便知 u(w) u(x*) u(x?)。 u(x)的連續(xù)性保證了存在 t?(0, 1) 使得 u(tw+(1?t)x?) = u(x*)(連續(xù)函數(shù)介值定理 )。記 z = tw + (1?t) x?，則我們有： p z = t pw +(1? t) px? t r +(1? t) r = r 可見， u(z) = u(x*) 且 p z r。再 根據(jù) 1. 充分條件的證明 第一步的結(jié)論，可知 p z ? r，這與 p z r 相矛盾！矛盾的結(jié)果表明反證法的假定是錯誤的，故只有 (?x?X )((u(x)u(x*))?( p x r))成立。 這一結(jié)果意味著 (?x?X )( ( p x ? r) ?(u(x) ? u(x*)) )，定理得證。 第二步 ，再 證明 (?x?X )( (u(x) u(x*)) ? ( p x r) )。 用反證法，假定存在 x??X 使得 u(x?) u(x*) 但 px? ? r。 X ?x?xwz rpx? 商品間的替代法則 ： 如果 在 x*處 ， 任何兩種商品之間的邊際替代率都等于它們相應的價格比 ，即 那么 x* 就是消費者在價格 p 和收入 r 下的均衡 。 2. 充分條件的意義 邊際效用均等法則 ： 如果 在 x*處 ，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費量，其所增加的效用都是一樣的，即 那么 x* 就是消費者在價格 p 和收入 r 下的均衡 。 ???pxupxupxu *)(*)(*)(2211 ??????),2,1,(*)( *)( ?????? jippxu xujiji充分條件定理意味著商品之間的替代法則和邊際效用均等法則不僅僅只是均衡的必要條件，通過這兩條法則足以能夠判斷消費者是否實現(xiàn)了均衡。 二、內(nèi)部均衡與邊界最差現(xiàn)象 一階條件要求均衡位于消費集合內(nèi)部 (即內(nèi)部均衡 )。內(nèi)部消費的特點 ，就是可沿任何方向?qū)@種消費進行調(diào)整。而邊界消費就沒有如此的好處：若要調(diào)整邊界消費，則必須考慮調(diào)整方向是否可行的問題。因此，一般情況下， 邊界消費總是要比內(nèi)部消費差些 ，這就是 邊界消費最差現(xiàn)象 ，我們將其作為一個假設。 ? 邊界最差假設 ： (?x?X ?)(?y?? X )( x ? y)。 此假設是生活水平較高的體現(xiàn)。 那種有食無衣、有衣無食的生活正是最差的邊界生活。在此假設下，均衡必然在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)：既有衣物，又有食物。這正是內(nèi)部均衡定理表述的事實。 ? 內(nèi)部均衡定理 假定理性消費者 ( X, ? ) 服從邊界最差假設。則對于任何 ( p, r)???, 都有 D( p, r)? X ?。進而如果 ? 還是內(nèi)部嚴格凸的，則需求映射 ? : ??? X 得以確定且 (?( p, r)???)(?( p, r)?X ?)。 設 x*=?( p*, r*)?X ?， p* 0， ?* 是確定 x* 的邊際方程中的拉氏乘數(shù)： u?(x*) = ?* p* 且 p* x* = r*。假設 HC、 HP和 HU成立。 間接效用函數(shù) 可看成函數(shù) L(x, p, r) = u(x) + ?*(r p x) 與需求映射 ?( p, r) 的復合： 。因此，我們有： 三、