【正文】 ΦrpDV ?),( ??o 0),( 00 ?? ppp ?)),((amp。那么，消費(fèi)者如何把剩余收入用于增加各種商品消費(fèi)呢？這個問題較實際，現(xiàn)實中常常會碰到。偏好的內(nèi)部嚴(yán)格凸性還保證了消費(fèi)者均衡的唯一性，從而需求映射是確定的。 (1) 效用函數(shù)的變形 可對上述效用函數(shù)進(jìn)變形以便于使用。 在這個需求系統(tǒng)中 , pi x i = pi ? i +? i (r ? p?)。從邊際方程 可以 看出，假若 x?X ? 是效用最大化問題max u(x) . px = r 的解，那么 x 必是效用函數(shù) u 在點 x 處的 切平面 T(x) 上的最大值點。 (1) 稱 u 在點 x?X ? 處強(qiáng)擬凹 ， 是指 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負(fù)定 ， 即 對任何 z??(x)， z ? 0， 都有 。 T ? 在假設(shè) HU下 ， 若 x?X ? 滿足邊際方程且 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負(fù)定 ， 則 x 是效用最大化問題 max u(x) . px = r 的局部唯一解 。 T ?????? ? ???? 0)( )()())(( xu xuxuxuHT? 擬凹性定 理 2 設(shè)效用函數(shù) u(x) 滿足假設(shè) HU。隱函數(shù)存在定理指出，需求函數(shù)的連續(xù)可微性取決于邊際方程的雅克比矩陣 J(x, ?) 是否可逆。 二、價格與收入變動對需求的影響 (1) 消費(fèi)集合 X 滿足假設(shè) HC， 偏好關(guān)系 ? 滿足假設(shè) HP； (2) ? 的 效用函數(shù) u 滿足假設(shè) HU并且強(qiáng)擬凹 ； (3) 均衡在消費(fèi)集合內(nèi)部實現(xiàn) ： (?( p, r)???)(? ( p, r)?X ?)。 (一 ) 基本矩陣方程 假定價格 p發(fā)生了微小變化 ，收入 r 發(fā)生了微小變化 d r，引起需求發(fā)生變化 (不帶轉(zhuǎn)置符號 “ T” 的向量均可看成行矩陣 )，同時引起拉氏乘數(shù) ? 發(fā)生微小變化 d? 。 矩陣 S 叫做 斯勒茨基矩陣 ，其元素 shk 叫做 斯勒茨基系數(shù) 。 從微分公式又可得到 需求對價格和收入的 導(dǎo)數(shù)公式 ： 即 3. 需求變動的微分公式與導(dǎo)數(shù)公式 rzpxzx TT dd)(d ??? S? ?? ???????????????????TTkhhkTzzzzrxxzsxzpx????21S),2,1,( ?????????????????khzrxxzspxhhkhhkkh(二 ) 價格與收入變動的效應(yīng)分析 當(dāng)商品價格不發(fā)生變化而收入發(fā)生變化時，商品的需求量明顯地會受到影響。 價格變化導(dǎo)致消費(fèi)者實際收入水平發(fā)生變動，從而產(chǎn)生 收入效應(yīng) ；價格變動還引起商品便宜貴賤情況發(fā)生相對變化，從而產(chǎn)生替代。結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式，可把微分公式進(jìn)一步寫成： 價格和收入變動引起的實際收入變動包括兩部分：一是 dr；另一是價格變動引起的實際收入變動。 rxpxrppxrzpx T ???????? )dd(d)dd(dd SS 根據(jù) ?xh /?r 的含義，可把 ?xh /?r 叫做 商品 h的 收入效應(yīng)系數(shù) ，把列向量 ?x /?r 叫做商品 h 的 收入效應(yīng)系數(shù)向量 。 注意， 。 Thhh rxrxrxpxrxpx ????????????????????? ?211)d()d(? 商品 h 對 k 的 (價格 )收入效應(yīng)系數(shù) ? hk 表示純粹由商品 k 的價格變動對商品 h 的需求產(chǎn)生的收入效應(yīng)率 。價格變動 dp 引起消費(fèi)者實際收入發(fā)生變動 ?xdp，此時，讓收入 r 發(fā)生一個補(bǔ)償性的變化 dr = xdp，則可保證實際收入水平不變： dr – xdp = 0。可見，斯勒茨基系數(shù)具有特殊的意義： ? 斯勒茨基系數(shù) shk 表示在實際收入水平不變的條件下 ， 商品 k 的價格上升一單位所引起的商品 h 的需求增加量 。這就從經(jīng)濟(jì)意義上進(jìn)一步闡明了 shk = ?xh /?pk + xk ?xh /?r 的必然性。 ? 替代效應(yīng)的實際支出不變 ： 解釋 ：在商品 k的價格上升一單位情況下，各種商品 h的替代效應(yīng)分別為 shk (h = 1,2, ?,?)。011?? ??????????hhhhhhT rxpzppzp S),2,1(0i . e .,01??? ?????kpsphhhkS? 增加的收入等于增加的支出 ： 1i . e .,11?? ?????hhhT rxppz? ?? 1h hhk ps解釋 ：收入增加一單位引起支出增加 ，其值為 1。從這一點上說， 基于偏好的需求符合現(xiàn)實需求的特點和規(guī)律 。 這樣，在沒有收入補(bǔ)償?shù)那闆r下，正常商品的價格上漲必然導(dǎo)致商品的需求量下降，原因在于正常商品的收入效應(yīng)系數(shù)為正。 盡管可以證明替代矩陣半負(fù)定，但不可祈求替代矩陣負(fù)定。 2?? RX?10w h e r e)()( 2121 ???? ?? ??? Rxxxxu???????221111),(),(prrpxprrpx????2222221211212111 1,)1(,0。 特別是 ， 低檔商品價格 變動的收入效應(yīng) ? xh ?xh??r 非負(fù) 。這種商品叫做 吉芬商品 ，它違背了需求法則，價格上升時，其需求量不降，反而上升。正確的方法應(yīng)該是使用替代效應(yīng)系數(shù)來判斷： 5. 商品消費(fèi)中替代現(xiàn)象的普遍性 01 ?? ??h hhk ps從 skk ? 0 及 可知： ? 替代品 ： 當(dāng) shk 0 時 ， 商品 h 與 k 互為替代品 。 因此可以說， 在消費(fèi)活動中 ， 商品之間的替代現(xiàn)象比互補(bǔ)現(xiàn)象更為普遍一些 。 ),( rpu? ?)0()0dd()0(d)1amp。可見， 。需求映射 x = ?( p, r) 的這些普通特點可以總結(jié)歸納如下。如果一個關(guān)于價格和收入的映射能夠具有如上四條性質(zhì)，那么該映射就可看成是某個消費(fèi)者的需求映射。證 明： ，其中 為間接效用函數(shù)。 ? 應(yīng)用基于選擇的需求理論研究總需求 ： (1) 總需求是否還是價格和收入的函數(shù)？ (2) 總需求能否揭示一種消費(fèi)者偏好？ (3) 總需求有什么社會福利意義？ 通過對這三個問題的研究，總需求的性質(zhì)即可得到充分揭示。 ? 結(jié)果 如果觀察到的需求所顯示的偏好符合消費(fèi)者理性，那么這里的問題就得到了解決。 ? 觀察選擇較可行 薩繆爾森認(rèn)為，當(dāng)價格和收入既定時，消費(fèi)者必然會選擇出所需要的商品，而且對消費(fèi)者的選擇進(jìn)行觀察沒有多大困難，可以做到。 1. 觀察選擇 ， 確定需求 這種對消費(fèi)者需求的觀察，其實就是對消費(fèi)者的選擇法則進(jìn)行觀察，或者說，觀察得到的需求集映本身就反映了消費(fèi)者的選擇法則。因此， D( p, r)必然在預(yù)算集合 ? ( p, r)之內(nèi)： D( p, r) ? ? ( p, r)。 (二 ) 需求顯示偏好 ? 需求是消費(fèi)者的購買欲望與購買能力的綜合反映 。 ? 基于選擇的需求 D: ??X 顯示著消費(fèi)者個人偏好 。這是因為 D( p, r) 是消費(fèi)者從預(yù)算集合 中挑選出來的最想要的商品向量。 ? ( p, r) 需求顯示 ： x ? y ),( rpDyx 原因： x, y??( p, r) y?D( p, r) (1) 對任何 x, y?X , 關(guān)系式 x ? y、 x ~ y 和 x ? y 中至多只能成立一個 。 從顯示性偏好的定義，可以看出顯示性偏好的如下一些特點： xy??(3)的證明 ： x ? y 即 x ? y 且 。 (3)得證。 第一次觀察發(fā)現(xiàn)： x, y?? ( p, r) 且 y?D( p, r)，故 y ? x； 第二次觀察發(fā)現(xiàn)： x, y?? (q, s) 且 x?D(q, s)，故 x ? y； 那么， D(p, r)就不但應(yīng)包含 y，而且也要把 x 包含進(jìn)來； 同樣， D(q, s)不但應(yīng)包含著 x，而且也要把 y 包含進(jìn)來。 需求弱公理 正是出于這樣的考慮才提出來的。 x?D(q, s) {x, y}?D( p, r)?D(q, s) ? 5. 弱公理的保證 在需求弱公理下，我們有下述事實成立： (1) 對任何 ( p, r)?? 及 x, y?? ( p, r), 若 x?D( p, r)且 x ~ y, 則 y?D( p, r)。因此，人們也把該公理叫做 顯示性偏好弱公理 。 反過來， 當(dāng)基于選擇的需求映射也滿足這些條件時，該需求映射能否看成基于偏好的需求映射呢？ 這就是所謂的 可積性問題 。 可微性問題 可積性問題 ? ? 1. 理論意義 所謂特征性質(zhì)，就是說只要一個映射具有這些性質(zhì)，那么該映射便一定是從某個理性消費(fèi)者的偏好出發(fā)推導(dǎo)出來的需求映射?？煞e性問題的肯定性答案則說明，如此的需求映射可由理性偏好導(dǎo)出的 充分必要條件 是該映射具有對稱的替代矩陣。而這在基于偏好的需求理論中是困難的：在那里，需要首先確定效用函數(shù)，然后寫出邊際方程，最后導(dǎo)出需求函數(shù)。 可積性問題的肯定性答案表明基于選擇的需求顯示著消費(fèi)者偏好，這就讓我們可以對消費(fèi)者進(jìn)行福利分析，尤其是可以從觀察到的需求信息出發(fā)，構(gòu)造出消費(fèi)者的效用函數(shù) (支出函數(shù) )。 然而， 現(xiàn)實情況并不能提供這種重復(fù)觀察所要求的相同條件。 從現(xiàn)在開始，我們只討論需求映射，即處處取值為單點集的集值映射。 ? 需求弱公理的等價形式 設(shè) ? : ? ? X 是基于選擇的 需求映射，則下列表述相互等價 ： 需求弱公理不能保證顯示性偏好的完全理性，因此還需對基于選擇的需求映射提出另外的合理條件。 1. 等價形式 (2)與 (3)的意義 pz = r y = ?(q, s) qy? s, qx? s y x x = ?( p, r) px? r, py? r qz = s 在需求集映成為單值映射的情況下 ， 本圖所示的這種情況不可能發(fā)生 ， 除非 x = y 。 ? 可微性公理 基于選擇的需求映射 ? : ? ? X 在價格 收入集合 ?的內(nèi)部是連續(xù)可微的。 x =?( p, r) y =?(q, s) p x y 補(bǔ)償替代定律 q y? x q? p x y p q py r qx = s 表述(3)的圖示 q q px = r qy = s x =?( p, r) y =?(q, s) 2. 替代效應(yīng)系數(shù) 可以直接通過 瓦爾拉需求映射 ? : ? ? X ，給出替代效應(yīng)系數(shù) shk 的定義。 商品 k的價格上升一單位，商品 h的需求增加 ??h??pk單位，消費(fèi)者收入水平下降 ?k個單位。 我們有 ： 。 (3)的證明：在 兩邊對 pk 求導(dǎo)，即可得到所要的結(jié)果。替代矩陣的半負(fù)定性說明了這一現(xiàn)象，可見我們提出的齊次性公理、瓦爾拉公理、可微性公理、需求弱公理共同描述了一個符合實際的需求現(xiàn)象，可以作為基于選擇的需求的特點。則 ? 滿足對稱性公理 當(dāng)且僅當(dāng) 存在 X 上的偏好關(guān)系 ? 使得 ? 是基于這個偏好關(guān)系的需求映射?？梢?，不論是基于偏好，還是基于選擇，都可把需求映射看成是滿足 需求弱公理 、 齊次性公理 、 瓦爾拉公理 、 可微性公理 和 對稱性公理 的任何映射。 ? 顯示性偏好 定理 2 如果基于選擇的需求映射 ? : ? ? X 滿足需求強(qiáng)公理，則必存在 X 上自反、完全、傳遞的二元關(guān)系 ? 使得對任何( p, r)?? 及任何 x, y?? ( p, r)，只要 x = ?( p, r) 且 x ? y，就有 x ? y 。他們利用市場均衡模型進(jìn)行預(yù)測時，總需求起著關(guān)鍵作用。 先研究第一個問題：總需求是否是價格和總收入的函數(shù)？ 假定經(jīng)濟(jì)中共有 ? 種商品和 m 個消費(fèi)