【正文】 EU U(W) U(W) 風險愛好者 風險厭惡者 風險中立者 公平賭博 : ER =W 賭 : EU U (ER)=U (W ) 不賭 : EU U (ER ) =U (W ) 一樣 : EU =U (ER)=U (W ) 盈性賭博 : ER W 賭 : EU U (ER)U (W ) 可能不賭 : EU U (ER) U (W ) 賭 : EU =U (ER)U (W ) 虧性賭博 : ER W 可能賭 : EU U(ER)U (W ) 不賭 : EU U (ER ) U (W ) 不賭 : EU =U (ER)U (W ) 對待風險的態(tài)度比較 (假定效用函數(shù) U 嚴格遞增 ) 風險厭惡者 風險中立者 (三 ) 職業(yè)選擇 ? 第一種工作： 在私企做推銷，薪金較高，但收入不確定。 ? 風險中立者 ： 在公平賭博面前，認為賭與不賭都一樣，即參加公平賭博的預期效用等于不賭的效用 。 ? 風險厭惡者 ： 在公平賭博面前，認為不賭比參賭要好，即參加公平賭博的預期效用小于不賭的效用。 ? 風險愛好者 ： 在公平賭博面前，認為參賭比不賭要好，即參加公平賭博的預期效用大于不賭的效用。 研究賭博行為，對于解釋風險行為有著特殊意義。 不公平賭博 有兩種：盈性賭博、虧性賭博。如果他不接受賭博 G，則收入 W 元不變，效用為 U(W )；如果他接受賭博 G，則預期收入 ER和預期效用 EU分別為： ER = ER (G,W ) = p(W+W1)+(1? p)(W+W2) = W + pW1 + (1? p)W2 EU = EU (G,W ) = pU(W +W1) + (1? p)U(W +W2) ? 接受賭博 ： EU(G,W ) U(W ) ? 拒絕賭博 ： EU(G,W ) U(W ) ? 兩可選擇 ： EU(G,W ) = U(W ) ? 公平賭博 ： ER (G,W ) = W，即 pW1 + (1? p)W2 = 0。 W2,1? p)。 2. 賭博行為的一般描述 一般地描述一個賭博，可以這樣來說：賭博是一種游戲，輸者贏得 W1 元 (W1 0)，贏者贏得 W2 元 (W2 0)；輸?shù)母怕蕿? p，贏的概率為 1? p。 ? 結論 ： 只有當 EU u(50) 且 EV v(50) 時 ， 這場賭博才能開展起來 。 如果 EV v(50)，即乙認為參加賭博的預期效用大于不賭的效用，那么乙會參加賭博。 1. 預期效用 設甲和乙的貨幣收入效用函數(shù)為 u和 v。 注意，這里的概率與彩票中獎的概率意義不同。假定甲認為巴西隊贏的概率為 p，乙認為巴西隊贏的概率為 q。甲說巴西贏，是因為甲認為巴西隊勝球的概率大于法國隊。如果接受賭博，贏者可得 50元，收入變?yōu)? 100 元；輸者支付 50元，收入變?yōu)? 0 元。有人建議他們打賭，賭金 50元。然而現(xiàn)實中，誰也不會設計這樣的彩票去賣。 x y z 顯然，彩票 p186。 X 1 1 1 彩票集合 }1:]1,0[{ 1 ???? ?ni in ppXnR 可以假定： 1等獎讓消費者獲得的效用 U1最大， 2等獎的效用 U2次之， ? ， n等獎的效用 Un最小 (此獎即無獎，只有付出，沒有收獲，效用 為負 : Un 0)。顯然，彩票集合 X 是 的有界凸閉子集 ，因而 是凸緊集 。因此，彩票 t 的中獎概率分布為 a p + (1 a) q： a p + (1 a) q = (a p1+ (1 a) q1, a p2 + (1 a) q2,? , a pn + (1 a) qn) p p1 p2 ? pn q q1 q2 ? qn a p + (1 a) q a p1+ (1 a) q1 a p2 + (1 a) q2 ? a pn + (1 a) qn 這樣，復合彩票 t 可用它的概率分布向量 a p + (1 a)q 來表示 ： t = a p + (1 a)q 假定把所有的彩票進行合類后，共有 n 個等級獎勵。所以，彩票 t 是一種 以概率 a 獲得彩票 p， 以概率1 a 獲得彩票 q 的新型彩票，稱為 p 與 q 的 復合彩票 。因此，彩票要想發(fā)行成功，其獎勵必須有足夠的吸引力：令人向往。另外，要讓消費者 i 購買彩票，預期增加的效用不能為負： pUi (1 p) ui ? 0，即 p ? ui /(Ui + ui)。 價格 a元、獎勵 A元的彩票 (可假定 A/a為整數(shù) )，其發(fā)行張數(shù) k應不少于 A/a +1(要求 ka A，即 k ? A/a +1。假定彩票價格為 a 元，獎勵額 A 元。抽彩人的這種行為，對彩票的設計提出了要求。 一種彩票對抽彩人的預期效用愈大，抽彩人愈傾向于購買。 ? 獎品不同的彩票的統(tǒng)一表示 ： 獎勵合類 ， 概率分布向量齊維 。比如，彩票 A 的獎勵有 a, b,c，彩票 B的獎勵有 x,y,z，則可視 A和 B的獎勵同為 a,b,c,x,y,z，只不過購買彩票 A獲得獎勵 x,y,z 的概率是 0，購買彩票 B獲得獎勵 a,b,c 的概率也是 0。 ? 彩票可用中獎概率分布來表示 。獲得 i 等獎的概率為 pi ( i = 1,2,? , n )，抽彩人獲得 i 等獎后可獲 Ui單位效用。 1. 彩票的表示 假定某種彩票有 n 個獎勵等級： 1, 2,? , n。 ? 問題 ： 抽彩者會購買哪一種彩票 ？ 要回答這個問題，需要計算這兩種彩票的預期效用 ——效用的數(shù)學期望。 足球彩票：中獎概率為 q，不中獎的概率為 1q。獎品相同，中獎即得汽車一輛。因此，擇業(yè)也是一種不確定選擇問題。 例 2 賭博 (gamble) 賭博是一種典型的靠隨機因素決定收入的現(xiàn)象，用它可區(qū)別一個人對待風險的態(tài)度。購買彩票有可能獲得獎品，甚至可能獲得大獎。 一、不確定性選擇的事例 我們從三個不確定性選擇的經(jīng)典事例，來開始我們的討論。 無常性 (uncertainty)是指人們既不能確定某種經(jīng)濟行為一定會產生某種結果，又不能客觀地確定產生某種結果的可能性大小。 風險性 (risk)是指人們雖然不能確定某種行為一定會產生某種結果，但能夠客觀地確定產生某種結果的可能性大小。 所謂 不確定性 ，通常是說人們不能確定某種經(jīng)濟行為必然會產生某種結果。第 7講 預期效用理論 前面的討論是在確定性的環(huán)境中進行的，涉及的價格、收入等變量都不帶不確定性。然而經(jīng)濟活動并非總是確定性的，帶有不確定性的消費選擇活動可能更為常見，有必要對其進行一番研究。經(jīng)濟學則對不確定性從概念上作了嚴格區(qū)分，提出了兩種含義不同但相聯(lián)系的不確定性：風險性與無常性。這就是說，經(jīng)濟行為產生某種結果的概率是客觀存在的 ——客觀概率 。 本講研究不確定環(huán)境中，經(jīng)濟人的行為準則與目標函數(shù)，內容包括： 1)風險選擇理論 —預期效用 ； 2)無常選擇理論 —主觀概率 。 例 1 彩票 (lottery) 發(fā)行彩票是一種常見的低成本籌資手段。彩票種類很多，面對眾多彩票，消費者究竟依據(jù)怎樣的行為準則進行選擇？這是我們關心的問題。我們關心的問題是，當消費者面對一種賭博的時候，他是依據(jù)什么準則來決定是參加還是拒絕賭博的？ 例 3 擇業(yè) (jobchoice) 職業(yè)各種各樣，有些職業(yè)具有穩(wěn)定的收入，而有些職業(yè)的收入不穩(wěn)定，與績效掛鉤。 (一 ) 抽彩選擇 現(xiàn)有兩種彩票：福彩和足彩。 福利彩票：中獎概率為 p，不中獎的概率為 1p。 抽彩者：中獎，獲 U1單位效用；不中獎，獲 U2單位效用。用 EU、 EV 分別表示福彩、足彩的預期效用： EU = pU1 + (1 p)U2 EV = qU1 + (1 q)U2 抽彩人究竟會購買哪一種彩票，取決于 EU 與 EV 的比較： 如果 EU EV ，則福彩的預期效用更大，因而要選擇購買福彩； 如果 EU EV ，則足彩的預期效用更大，因而要選擇購買足彩； 如果 EU = EV ，則兩種彩票的預期效用相同，購買哪種都可以。 1等獎即頭獎， n 等獎即無獎。該彩票可用 中獎概率分布 p = ( p1, p2,? , pn) 來表示，購買彩票 p 的 預期效用 為 EU( p) = p1U1 + p2U2 +? + pnUn。 面對兩種獎勵不同的彩票，把它們的獎勵合并在一起，只不過購買這種彩票就不能獲得那種彩票的獎勵。這樣， A和 B的中獎概率分布向量同維，可以比較。 ? 對于不同彩票 ， 抽彩人依照彩票的預期效用大小來作抉擇 。 2. 彩票的設計 消費者面對一種彩票時，是否購買它取決于購買它可獲得的預期效用與不購買的預期效用的比較情況。為了簡單起見，假定彩票只有兩個等級的獎勵：有獎和無獎。 消費者 i購買彩票后，若中獲，可增加 U i個單位的效用；若沒有中將，則損失 ui個單位的效用 (即損失了 a 元錢的效用 )。否則，賺不到錢 )， 故中獎概率 p 必然滿足 p ? 1/k ? a /(A+a)。 可見，設計出一種彩票，既不讓發(fā)行者吃虧，又能讓所有消費者都滿意的條件是： A/a ? min{Ui /ui : i = 1,2,? , m}(m個消費者 )。 3. 復合彩票 通過一個隨機事件 A，可以從兩種彩票 p 和 q 設計出這樣一種彩票 t ：如果事件 A 發(fā)生，購買者將得到彩票 p；如果 A 沒有發(fā)生，則購買者得到彩票 q。 可以看出，購買復合彩票 t 獲得 i 等獎的概率為 a pi +(1 a)qi。則所有可能的彩票的全體是集合 。 4. 彩票集合 X 是凸集，是說 X 中的任何兩種彩票 p和 q的加權平均 a p+(1a)q 依然是 X 中的彩票：它就是 p和 q 的復合彩票。這樣一來，彩票 p=( p1, p2,? , pn) 的預期效用為 EU( p) = p1U1 + p2U2 +? + pnUn。 = (1,0,? ,0)是預期效用函數(shù) EU( p) 在 X 上的最大值點。 (二 ) 賭博行為 實際問題 ：球迷甲 、 乙在為“ 巴西 法國 ”足球比賽的勝負爭執(zhí)不休：甲認為巴西隊贏，乙認為法國隊贏。如果不接受這個賭博，誰都不會贏 50元，也不會輸 50元。 甲和乙是否會進行這場賭博呢 ？ 問題分析 ：甲和乙之所以爭論，是因為各人有各人的信息，各人有各人的判斷。乙說法國贏，是因為乙認為法國隊贏球的概率大于巴西隊。則 p 1? p(甲認為巴西隊贏 ) ， q 1? q (乙認為法國隊贏 )。彩票中獎的概率是客觀存在的，叫做 客觀概率 ；而這里的概率是由賭博的雙方各自主觀確定的，叫做 主觀概率 。 甲和乙各自根據(jù)自己的概率判斷，計算出賭博的預期效用： 甲的預期效用： EU = p u(100) + (1? p) u(0) 乙的預期效用： EV = q v(0) + (1? q) v(100) 如果 EU u(50)，即甲認為接受賭博的預期效用大于不賭的效用，那么甲會參加賭博。 ? 一個人是否接受賭博 ， 關鍵看他接受打賭的預期效用是否大于不賭的效用 。 否則，便有一方不愿意打賭 。這個賭博可表示為 : G = (W1, p。 某人現(xiàn)有收入 W 元，貨幣收入效用函數(shù)為 U (r)。 3. 從公平賭博看風險態(tài)度 公平賭博 是賭與不賭的預期收入相同的賭博。 盈性賭博 (盈賭 )指 參賭的預期收入大于不賭的收入 ： ER(G,W ) W ，即 pW1 + (1? p)W2 0； 虧性賭博 (虧賭 )指 參賭的預期收入小于不賭的收入 ： ER(G,W ) W。尤其是通過觀察人們在公平賭博面前究竟是選擇賭還是不賭，即可得知人們對待風險的態(tài)度。這樣的人也叫做 冒險者 。這樣的人也叫做 避險者 。 U1 4. 效用函數(shù)與對待風險的態(tài)度 一個人對待風險的態(tài)度完全反映在他的效用函數(shù)的凹凸性上：風險愛好者 ——凸，風險厭惡者 ——凹，風險中立 ——線性。 ? 第二種工作 ：在國企做售貨，收入較低，但收入較穩(wěn)定。 (1) 干得好，月收入 2020元； (2) 干不好，月收入 1000元。 (1) 在國企正常經(jīng)營的情況下，月收入總為 1510元； (2) 在國企經(jīng)營極差的情況下，月收入才會減少到 510元； (3) 國企經(jīng)營極差的概率為 1%； (4) 國企正常經(jīng)營的概率為 99%。兩種工作的月收入方差 ?1178。： ?1178。 + ?(10001500)178。 = ?(15101500)178。 = 9900 要在這兩種工作之間做出選擇，必須權衡這兩種職業(yè)的收益與風險情況。 ? 兩種工作的預期月收入 ER1 和 ER2： ER1 = ?2020 +