【正文】 【 方 法點(diǎn)撥 】 1．掌握直線的傾斜角，斜率以及直線方程的各種形式，能正確地判斷兩直線位置關(guān)系，并能熟練地利用距離公式解決有關(guān)問題．注意直線方程各種形式應(yīng)用的條件．了解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，能解決一些簡單的線性規(guī)劃問題． ,并能夠熟練運(yùn)用對稱性來解決問題 . 3．熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程 ． 4．處理解析幾何問題時，主要表現(xiàn)在兩個方面： (1)根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立與之等價的代數(shù)結(jié)構(gòu) 。(2)根據(jù)方程 的 代數(shù)特征洞察 并揭示 圖形的性質(zhì)． 5．要重視坐標(biāo)法 ， 學(xué)會如何借助于坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想． ；還要注意綜合運(yùn)用三角函數(shù)、平面向量等與本章內(nèi)容關(guān)系比較密切的知識． 第 1 課 直線的方程 點(diǎn) 中點(diǎn)坐標(biāo) 兩點(diǎn)間距離 圓 位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系 方程形式 標(biāo)準(zhǔn)方 程 一般方程 點(diǎn)到直線的距離 直 線 直線斜率與傾斜角 兩條直線位置關(guān)系 平行 相交 垂直 方程形式 點(diǎn)斜式 斜截式 兩點(diǎn)式 截距式 一般式 點(diǎn)與直線位置關(guān)系 直線與圓的方程 空間直角坐標(biāo)系 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 理解直線傾斜角、斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件，求出直線的方程． 高考中主要考查直線的斜率、截距、直線相對坐標(biāo)系位置確定和求在不同條件下的直線方程，屬中、低檔題，多以填空題和選擇題出現(xiàn)，每年必考 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1. 直線 xcosα＋ 3 y＋ 2＝ 0 的傾斜角范圍是 50, ,66???? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? 2. 過點(diǎn) )3,2(P ，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 1 0 3 2 0? ? ? ? ?或x y x y l經(jīng)過點(diǎn)（ 3， 1），且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，則直線 l的方程為 42? ? ? ? ?或y x y x k 取任何實(shí)數(shù)，直線 ? ? ? ? ? ?1 4 2 3 2 1 4 0k x k y k? ? ? ? ? ?必經(jīng)過一定點(diǎn) P，則 P的坐標(biāo)為 （ 2， 2） 【 范例導(dǎo)析 】 例 A（－ 1， 2）、 B（ m， 3） （ 1）求直線 AB的斜率 k； （ 2）求直線 AB的方程； （ 3）已知實(shí)數(shù) m 3 1, 3 13??? ? ? ?????，求直線 AB的傾斜角 α的取值范圍． 分析：運(yùn)用兩點(diǎn)連線的子斜率公式解決，要注意斜率不存在的情況 . 解 :（ 1）當(dāng) m=－ 1時，直線 AB的斜率不存在． 當(dāng) m≠－ 1時， 11k m? ? ， （ 2）當(dāng) m=－ 1時， AB： x=－ 1， 當(dāng) m≠ 1時， AB： ? ?1211yxm? ? ?? . （ 3）①當(dāng) m=－ 1時， 2??? ； ②當(dāng) m≠－ 1時， ∵ ?13, 3 ,km ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ∴ 2,6 2 2 3? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? 故綜合①、②得，直線 AB的傾斜角 2,63??? ??????? 點(diǎn)撥：本題容易忽視對分母等于 0和斜率不存在情況的討論 . 例 l 過點(diǎn) P(2,1),且分別交 x 軸、 y 軸的正半軸于點(diǎn) A、 B、 O為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1)當(dāng)△ AOB的面積最小時 ,求直線 l 的方程 。 |PB|取最小值時 ,求直線 l 的方程 . 分析 ： 引進(jìn)合適的變量 ,建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù) ,通過尋找函數(shù)最值的取得條件來求 l 的方程 . 解 （ 1）設(shè)直線 l 的方程為 y1=k(x2),則點(diǎn) A(21k,0),B(0,12k),且 21k0, 12k0,即 k0. △ AOB 的面積 S=12(12k)(21k)=12[(4k)+ 1k?+4]≥ 4,當(dāng) 4k=1k?,即 k= 12?時 , △ AOB的面積有最小值 4,則所求直線方程是 x+2y4=0. (2)解法一 :由題設(shè) ,可令直線方程 l為 y1=k(x2). 分別令 y=0和 x=0,得 A(21k,0),B(0,12k), ∴ |PA|178。 1時 , |PA|178。 |PB|= | | | | 4 4sin cos sin 2P E P F? ? ?? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) θ=4? 時 , |PA|178。 【反饋練習(xí)】 ①經(jīng)過定點(diǎn) P0(x0,y0)的直線都可以用方程 yy0＝ k(xx0)表示；②經(jīng)過任意兩個不同點(diǎn)P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)的直線都可以用方程 (yy1)(x2x1)＝ (xx1)(y2y1)表示；③不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程ax + by ＝ 1 表示；④經(jīng)過定點(diǎn) A(0， b)的直線都可以用方程 y＝ kx+b 表示，其中正確的是 ①③④ l 的方程為 ? ? ? ?2 3 2 6 0 3x k y k k? ? ? ? ? ?,當(dāng)直線 l 的斜率為 1時， k值為 __5__,當(dāng)直線 l 在x 軸、 y 軸上截距之和等于 0 時， k 值為 1 或 3 ax+by+c=0的傾斜角為 ? ，且 sin? +cos? =0，則 a,b滿足的關(guān)系式為 0??ba l： y＝ kx 3? 與直線 2x＋ 3y－ 6＝ 0 的交點(diǎn)位于第一象 限，則直線 l 的傾斜角的取值范圍是)2,6( ?? 4x3y12＝ 0被兩坐標(biāo)軸截得的線段長為 c1 ，則 c的值為 51 6．若直線 (m2─1)x─y─2m+1=0不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 112??????， a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交點(diǎn)為 P（ 2， 3），求過兩點(diǎn) Q1（ a1， b1）、 Q2（ a2， b2）（ a1≠ a2）的直線方程 分析：利用點(diǎn)斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答 解：∵ P（ 2， 3）在已知直線上，∴ 2a1+3b1+1=0， 2a2+3b2+1=0 ∴ 2（ a1－ a2） +3（ b1－ b2） =0，即2121 aa bb ?? =－ 32 ∴所求直線方程為 y－ b1=－ 32 （ x－ a1） ∴ 2x+3y－（ 2a1+3b1） =0， 即 2x+3y+1=0 點(diǎn)撥 ： 。 （２） m＝－１或 m＝０時 1l ∥ 2l ， （３）當(dāng) m＝３時 1l 與 2l 重合。求直線 l 的方程。若直線 l 的斜率存在，則設(shè) l 的方程為 y=k（ x3） +1， 解方程組 ? ?1031xyy k x? ? ???? ? ? ???得 A（ ,123??kk － 114??kk ） 解方程組 ? ?6031xyy k x? ? ???? ? ? ???得 B（ 173??kk ， － 119??kk ） 由 |AB|=5 得 23 2 3 711kk???????????+ 24 1 9 111kk????????????=25， 解之，得 k=0，即所求的直線方程為 y=1。 解 法 二 .設(shè)直線 l 與 1l 、 2l 分別相交于 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2） ，則 x1+y1+1=0， x2+y2+6=0。 或 90176。 點(diǎn)撥： 用待定系數(shù)法求直線方程時，要注意對斜率不存在的情況的討論 . 【反饋練習(xí)】 l 在 x 軸上的截距為 1，且垂直于直線 xy 21? ，則 l 的方程是 22 ??? xy 3)1( ??? yaax 與 5)32()1( ???? yaxa 互相垂直，則 ?a 3 或 1 l1： ax+2y+6=0 與直線 l2： x+（ a－ 1） y+（ a2－ 1） =0 平行 ，則 a 的值是 ___1___. 20 ???? ，且點(diǎn) )cos,1( ? 到直線 1cossin ?? ?? yx 的距離等于 41 ，則 ? 等于 6? 5. 經(jīng)過直線 0732 ??? yx 與 01157 ??? yx 的交點(diǎn)，且平行于直線 032 ??? yx 的直線方程是 3x+6y2=0 1l 過點(diǎn) )0,5(A ， 2l 過點(diǎn) )1,0(B ， 1l ∥ 2l ，且 1l 與 2l 之間的距離等于 5，求 1l 與 2l 的方程。 ，利用三角換元或數(shù)形結(jié)合求最值問題，題型難度以容易題和中 檔題為主 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 A(3，－ 2)， B(－ 5， 4)，以線段 AB 為直徑的圓的方程為 (x + 1)2 + (y－ 1)2 = 25 A（ 1，－ 1）、 B（－ 1， 1）且圓心在直線 x＋ y－ 2＝ 0 上的圓的方程是 （ x－ 1） 2＋（ y－ 1） 2＝ 4 C 的半徑為 2，圓心在 x 軸的正半軸上，直線 0443 ??? yx 與圓 C 相切，則圓 C 的方程為0422 ??? xyx 22 4 2 0x y x y c? ? ? ? ?與 y 軸交于 A、 B兩點(diǎn)，圓心為 P，若∠ APB=120176。 分析 :配成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程再求解 解：配方得： ? ? 22 22( 3 ) ( 1 4 ) 1 6 7x m y m m m??? ? ? ? ? ? ? ??? 該方程表示圓，則有 21 6 7 0mm? ? ?，得 1( ,1)7m?? ，此時圓心的軌跡方程為2341xmym???? ???，消去 m，得 24( 3) 1yx? ? ?，由 1( ,1)7m?? 得x=m+3 20,47????????所求的軌跡方程是 24( 3) 1yx? ? ?， 20,47x ??????? 注意：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一定要討論變量的取值范圍，如題中 20,47x ??????? 變式 1：方程 22 4 ( 1 ) 4 0a x a y a x y? ? ? ? ?表示圓，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程。 又 ? ? 22222 2 2222 2 ( 4 4 )4 ( 2 2 ) 22aa a aaar a a a ?? ? ???? ? ? ? ? 當(dāng) min2, 2ar??，所以半徑最小的圓方程為 ? ? ? ?221 1 2xy? ? ? ? 例 2 求半徑為 4，與圓 042422 ????? yxyx 相切，且和直線 0?y 相切的圓的方程 ． 分析： 根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解． 解： 則題意，設(shè)所求圓的方程為圓 222 )()( rbyaxC ????： ． 圓 C 與直線 0?y 相切，且半徑為 4，則圓心 C 的坐標(biāo)為 )4,(1 aC 或 )4,(2 ?aC ． 又已知圓 042422 ????? yxyx 的圓心 A 的坐標(biāo)為 )1,2( ，半徑為 3． 若兩圓相切，則 734 ???CA 或 134 ???CA ． (1)當(dāng) )4,(1 aC 時， 222 7)14()2( ????a ，或 222 1)14()2( ????a (無解 )，故可得 1022??a ． ∴所求圓方程為 222 4)4()1022( ????? yx ，或 222 4)4()1022( ????? yx ． (2)當(dāng) )4,(2 ?aC 時， 222 7)14()2( ?????a ，或 222 1)14()( ?????a (無解 )，故 622??a ． ∴所求圓的方程為 222 4)4()622( ????? yx ，或 222 4)4()622( ????? yx ． 【反饋練習(xí)】 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一個圓的充要條件是 B=0 且 A=C≠ 0,D2+E24AF＞ 0 P(8， 1)， Q(5， 12)， R(17， 4)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)是 (5， 1) y=x+2k 與 y=2x+k+1 的交點(diǎn) P 在圓 x2+y2=4 的內(nèi)部，則 k 的范圍是 1 15 k? ? ? （ 2， 3），一條直徑的兩個端點(diǎn)恰好落在兩個坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程是22 4 6 0x y x y? ? ? ? y=3x+1 與曲線 x2+y2=4 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，則 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)是 31,10 10??????? 21 1 ( 1)xy? ? ? ?表示的曲線是 _兩個半圓 2)4()3( 22 ???? yx 關(guān)于直線 0??yx 的對稱圓的方程是 22( 4 ) ( 3) 2xy? ? ? ? x、 y滿足等式 ? ?2 223xy? ? ?，那么 yx的最大值是 3 )1,1(?A 和圓 4)7()5(: 22 ???? yxC ，求一束光線從點(diǎn) A經(jīng) x軸反射到圓周 C的最短路程為 ___8___ 10． 求經(jīng)過點(diǎn) A(5,2),B(3,2),圓心在直線 2x─y─3=0上的圓的方程 。 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆故所