【正文】 在時刻 t的狀態(tài) X(t)=n的概率即 p p X t nn t( ) { ( ) }? ? n s? ， t ? 0狀態(tài)為 n的概率近似于以下四個概率之和。消失多于一個以上的概率為 0(△ t)則稱系統(tǒng)狀態(tài)隨時間而 變化的過程 X(t)為一個生滅過程。 (1)到達(dá) (生 ):在 (t， t+△ t)內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)一個新的到達(dá)的概率為 ? ?n nt t? ?? ?0 0( ),的常數(shù)；沒有發(fā)生新的到達(dá)的概率 1 0? ?? n t t? ?( )；出現(xiàn)多于一個以上的新的到達(dá)概率 ? ?n nt t? ?? ?0 0( )。 （四）、生滅過程的差分微分方程組 當(dāng)顧客到達(dá)時間間隔為負(fù)指數(shù)分布 (即輸入過程具有Poisson特征， N(t)服從 Poisson分布 )，服務(wù)時間為負(fù)指數(shù)分布，則系統(tǒng)的排隊過程是 Markov(馬爾科夫 )過程，而且它具有一類特殊 Markov過程的特征，通常稱這類隨機(jī)過程的生滅過程。 用已得到的 概 率分布，確定描述整 個 系 統(tǒng) 的 運 行特征。 ?00…00 服務(wù)臺 顧客到達(dá) 顧客離去 排隊 服務(wù)機(jī)構(gòu) 顧客到達(dá) 00…00 排隊 服務(wù)臺 服務(wù)臺 顧客離去 顧客離去 (1)單服務(wù)臺系統(tǒng) (2)多服務(wù)臺的平衡系統(tǒng) 顧客到達(dá) 00…00 排隊 顧客離去 0 0 0 檢驗 調(diào)試 10% 0 90% ( ) (3)串聯(lián)排隊系統(tǒng) 1M 顧客到達(dá) 00…00 排隊 0 0 … 顧客離去 0 2M nM (4)排隊網(wǎng)絡(luò)模型 煤礦 煤倉 港口 輪船 汽車 (或火車 ) 火車 (5)匹配排隊模型 另外還有 (6)優(yōu)先權(quán)的排隊系統(tǒng) (7)成批排隊模型 (8)有限源排隊模型 我們討論 (1)(2)兩種 （三）、建立排隊模型步驟 關(guān)系。 /F1F0” 表示顧客到達(dá)間隔時間和服務(wù) “ M/M/c” 即 Poisson輸入負(fù)指數(shù)服務(wù)時間分布 C個服務(wù)臺的等待制排隊模型。 排隊系統(tǒng)除了上述三個主要數(shù)量指標(biāo)外，另外服務(wù)臺的利用率 (即服務(wù)員忙碌的時間在總時間中所占比例 )在排隊論的研究中也是很重要的指標(biāo)。這是服務(wù)臺最關(guān)心數(shù)量指標(biāo)，它直接關(guān)系到服務(wù)員工作強度，與忙期相對應(yīng)的是閑期，這是指服務(wù)臺連續(xù)保持空閑的時間長度；顯然，在排隊系統(tǒng)中忙期與閑期，是交替出現(xiàn)的。 研究排隊問題的目的，是研究排隊系統(tǒng)的運行效率估計服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理，設(shè)計改進(jìn)措施等，所以必須確定用來判斷系統(tǒng)運行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是 (1)隊長 :是指系統(tǒng)中顧客 (包括排隊等待和正在接受服務(wù)的 )的數(shù)目，它的期望值為 Ls排隊等待的顧客數(shù)，其期望記為 Lq(隊長 )=等待服務(wù)的顧客數(shù) +正被服務(wù)的顧客數(shù)，所以 L Lq s( )或 越大， ；排隊長度則僅指在隊列中 . 系 統(tǒng) 中的 顧 客 數(shù) 說明服務(wù)效率越低。和 輸入過程一樣，服務(wù)時間都是隨機(jī)的，且我們假設(shè)，設(shè) ?n 表示服務(wù)員為 n個顧客提供服務(wù)所需的時間，則服務(wù) { }?n 服從相互獨立的且與某一隨機(jī) ? 有相同分布，其中 ?根據(jù)原始資料判斷得到的，主要有的分布為負(fù)指數(shù)分布 (定長分布，一般獨立分布等 ) (3)排隊與服務(wù)規(guī)則 顧客排隊和等待的規(guī)則，排隊規(guī)則一般有等待制，消失制和混合制。對顧客可以單獨進(jìn)行服務(wù)，也可以對成批顧客進(jìn)行服務(wù)，在我們這兒介紹對顧客單獨進(jìn)行服務(wù)。 2 排隊系統(tǒng)的特征 為了描述一個給定的排隊系統(tǒng)，必須規(guī)定系統(tǒng)的下列組成 (1)輸入過程 顧客陸續(xù)來到的過程，設(shè) N(t):(0， t)時間內(nèi)來到的顧客數(shù) (非負(fù)整數(shù)值 ) }0),({ ?ttN 是隨機(jī)過程，又設(shè) iT第 i個顧客到達(dá)的時間，從 }{iT 隨機(jī)變量序列， 1??? iii TT? 時間間距 (隔 ) },m a x {)(1???? jii tjtN ?一般假設(shè)顧客來到時間間隔 i?相互獨立與隨機(jī)變量 ? 有相同的； ? 可以根據(jù)原始資料，由顧客到達(dá)的規(guī)律、作出經(jīng)驗分布， x2 檢驗法 )確定服從哪種理論分布，并 ? 概率分布為負(fù)指數(shù)分布 M(另外有定長分布 D， k階愛爾蘭分布 Ek ，一般獨立分布 GI等 ) 而 分布 然后按照統(tǒng)計學(xué)的方法 (如 估計它的參數(shù)值。由顧客和服務(wù)員就組成服務(wù)系統(tǒng)。 現(xiàn)實世界中排隊的現(xiàn)象比比皆是，但有如下共同特征 : (1)有請求服務(wù)的人或物，如候診的病人，請求著陸的飛機(jī)等，我們將此稱為 “ 顧客 ” 。 排隊論模型 排隊論是 20世紀(jì)初由丹麥數(shù)學(xué)家 Erlang應(yīng)用數(shù)學(xué)方法在研究電話話務(wù)理論過程中而發(fā)展起來的一門學(xué)科，排隊論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它涉及的是建立一些數(shù)學(xué)模型，以對隨機(jī)發(fā)生的需求提供服務(wù)的系統(tǒng)預(yù)測其行為，它已應(yīng)用于電訊、紡織、礦山、交通、機(jī)器維修，可靠性，計算機(jī)設(shè)計和軍事領(lǐng)域，都已取得了顯著的成績。 一、排隊論簡介 二、實例分析 一、排隊論簡介 （一）基本概念 1．排隊系統(tǒng) 排隊是指在服務(wù)機(jī)構(gòu)處要求服務(wù)對象的一個等待隊列 排隊系統(tǒng)是指一個具有排隊等待現(xiàn)象的服務(wù)系統(tǒng) 排隊論是指定量的研究排隊問題，尋找系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律，尋找供求關(guān)系平衡的最優(yōu)方案。 (2)有為顧客提供服務(wù)的人或物，如醫(yī)生、飛機(jī)跑道等，我們稱為 “ 服務(wù)員 ” 。 (3)顧客隨機(jī)地一個一個 (或者一批一批 )來到服務(wù)系統(tǒng)每位顧客需要服務(wù)的時間不一定確定的，服務(wù)過程的這種隨機(jī)性造成某個階段顧客排長隊，而某些時間服務(wù)員又空閑無事。我們主要討論 (2)服 務(wù) 機(jī) 構(gòu) 服務(wù)員對顧客服務(wù)過程，服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個服務(wù)員或多個服務(wù)員的。設(shè) C為服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)員個數(shù)，當(dāng) C=1時，為單服務(wù)系統(tǒng)，當(dāng) C≥2，為多服務(wù)系統(tǒng)。所謂等待制 (系統(tǒng)容量 D ? ??就是當(dāng)一個顧客到達(dá)時，若所有服務(wù)臺均被占用時，該顧客便排隊等待服務(wù)；消失制也稱即時制 (系統(tǒng)容量 D=C)就是服務(wù)臺被占用時顧客便即時離去；混合制也 時間所構(gòu)成的序列 變量 的概率分布是已知的可以 ) 有限制 (系統(tǒng)容量 D:CDk)就是一顧客到達(dá)若系統(tǒng)中顧客 稱隊長 (包括排隊等待和正在接受服務(wù)的 )數(shù)目小于 k則他排隊等待，否則他即時離去，等待制服務(wù)的次序規(guī)則有先到先服務(wù)隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的先服務(wù)等，我們主要討論先到先服務(wù)的系統(tǒng)。 (2)等待時間 :是指從顧客到達(dá)時間算起到他開始接受 Wq顧客 到達(dá)時刻算起到他接受服務(wù)完畢為止所需要的時間， Ws 逗留時間 =等待時間 +服務(wù)時間 (3)忙期 :是指服務(wù)臺連續(xù)繁忙的時間，即顧客從到達(dá)空閑服務(wù)臺算起到服務(wù)臺再次變?yōu)榭臻e時止的這段時間。 服務(wù)時止的這段時間，其期望值記 ；逗留時間則指從 即是顧客在系統(tǒng)中所花費的總時間，其期望值記 。 （二）