【正文】 是的小波變換稱為多進小波。下一次的分解總是對低頻部分 h(x)再進行頻帶的二分之一分解。 由二進小波的定義，二進小波在對信號分解時，將原信號分解為波長相等的兩個分支。由樣條函數(shù)構(gòu)造出的二進小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)的導數(shù)。由基于兩尺度關(guān)系的多分辨分析可導出如下關(guān)系 : 1( 1)nnngh???? 或 12( 1)nn n ngh? ? ??? （ 228） 其中， 2N為尺度向量的支撐區(qū)間的長度。 由尺度函數(shù)生成小波函數(shù) 由多分辨分析可以導出基于二進小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間的關(guān)系。而母函數(shù)由可以由尺度向量構(gòu)成。 小波分析的算法 小波分析的算法主要包括兩個方面 :生成小波基的算法和基于小波基的函數(shù)分解和重構(gòu)算法。這里著重指 出，多分辨分析的定義，以及小波函數(shù) ()x? 所滿足的上述條件，為構(gòu)造小波函數(shù)提供了一種思路，同時也為小波變換的算法實施提供了一種思路。尺度函數(shù) ()x? 與小波函數(shù) ()x? 存在兩尺度關(guān)系 : ( ) (2 )kkx P x k??? ? ? （ 221） ( ) ( 2 )kx q x k??? ? ? （ 222） 及分解關(guān)系 ? ?2( 2 ) ( ) ( )l k l z kkx l a x k b x k? ? ???? ? ? ? ? ? lZ? （ 223） 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 8 其中 1( 1)kkkqp???? 11,22k k k ka p b q?? 用 0()x? 表示 ()x? ， 1()x? 表示 ()x? ，兩尺度關(guān)系可以重寫為 00( ) ( 2 )kkx p x k??? ? ? （ 224） 10( ) ( 2 )kkx q x k??? ? ? （ 225） 在 此基礎上，定義 2 ( ) ( 2 )l k lkx p x k??? ? ? （ 226） 2 ( ) ( 2 )l k lkx q x k??? ? ? （ 227） 則函數(shù)族 ? ?( ) : 2 , 2 1 , 0 , 1. .....n x n l or l l? ? ? ?稱為關(guān)于尺度函數(shù) ()x? 的小波包。 若 存 在 2()LR 中 的 一 個 函 數(shù) ()x? ， 使 得 族? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個 Riesz 基，則 ??kV 滿足上述定義的所有條件。kkf x V f x V k Z?? ? ? ? (5) 1( ) ( ) ,2kkkf x V f x V k Z? ? ? ? ?), 并 且 ， 存 在 2()LR的 一 個 函 數(shù) ()x? 使得? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個 Riesz 基，即 ? ?20 () ( ) :LRV c lo s x n n Z?? ? ?且存在常數(shù) 0 AB? ? ?? ，使對所有雙無限平方和序列 ??nC ，有 ? ? ? ?2222()n n nllnA c c x n B c?? ? ? ? （ 219） 此時稱 ()x? 為對應于基小波 ()x? 的尺度函數(shù)。即 ： 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 7 2 1 0 1( ) . . . . . . . .jjZL R W W W W??? ? ? ? ? ? ? （ 217） 在此意義下，對每個 2( ) ( )f x L R? ，都有一個分解 1 0 1( ) .. . ( ) ( ) ( ) .. .f x g x g x g x?? ? ? ? ? （ 218） 其中 , ()jjg x W? ，對所有 jz? 成立。此時不論小波是否為正交 2( ) ( )f x L R? ，均存在級數(shù)表示對任何 ,( ) ( )j k j kjkf x d x??????? （ 215） 對于每個 j，令 ? ?2 ,() :j j kLRW clo s k Z??? （ 216） 即 jW 是由 ? ?, :,jk j k Z? ? 線性張成的閉子空間。 小波多分辨分析 在數(shù)字信號或數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，一般將離散小波的步長取為 2。在有些應用中，希望小波基在具有緊支集的前提下，仍然具有正交性和對稱性。 Daubechies 構(gòu)造出的系列小波 {Dn}中，D0(Haar)可用于刻畫不連續(xù)性， D4 可用于檢測一階導數(shù)的不連續(xù)性， D8 可用于檢測二階導數(shù)的不連續(xù)性，等等。而 Mexican hat 小波更適合于直邊物體的分割。這些小波都為正交小波，且具有緊支集。這對于多尺度邊緣檢測、或運用多尺度方法進行目標跟蹤有利。 如果小波函數(shù)為對稱的或反對稱的，則對應的小波基稱為對稱小波基。 (3)緊支撐性質(zhì) 和對稱性 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 6 設 ()x? 為小波函數(shù)，如果它的支集 sup(? )有限，則稱 ()x? 為緊支撐小波。若,( ) ( )m n m nmnf x d x???，但存在函數(shù)示 ?()x? ，使得對于任意的 2( ) ( )f x L R? ，若 , , , ,??, , ,m n m n m n m nf d f d????則 , , , , ??( ) ( ) ( )m n m n m n m nm n m nf x d x d x??? ? ? ? （ 212） 則稱 ? ?,? :,mn m n Z? ? 為 ? ?, :,mn m n Z? ? 對偶基，原小波基 ? ?, :,mn m n Z? ? 稱為雙正交小波基 (或半正交小波基 )。 (2)正交性質(zhì) 設 ()x? 為小波函數(shù)， ? ?:m mZ? ? 構(gòu)成一組規(guī)范正交基。消失矩越大，則基于這樣的小波所對應的函數(shù)分解對信號壓縮越有利。 一般地，若對于所有0 km?? (m為非負整數(shù) )，均有 ( ) 0k xR x x d? ?? （ 28） 而 1 ( ) 0m xR x x d?? ?? （ 29） 則稱 ()x? 的消失矩為 m。若 , , , ,m n l k m l n k? ? ? ?? （ 27） 則稱為規(guī)范正交基。 一般而言，小波函數(shù)族是相關(guān)的。 以建立從小波系數(shù)重建原函數(shù)的數(shù)學方法。即 若令 ： 2, , 0 ,( ) , ( ) ( )mm n m n m n xTf f a f x x d???? ? （ 23） 則 ? ? 2,( ) ( )mnTf l R? （ 24） 通常 T 的逆不存在。（ ）式稱為容許條件。設 ()x? 為變換的核函數(shù)，函數(shù) 2( ) ( )f x L R? 的連續(xù)小波變換定義為 ： 12( ) ( , ) ( ) ( )xR xbW f a b a f x da? ? ?? ? （ 21） 其中，核函數(shù) ()x? 要滿足的下面的容許條件。類似于 Fourier 分析，小波分析主要 由兩個變換構(gòu)成，即連續(xù)小波變換和離散小波變換。因此，小波變換的定義應滿足這樣的條件 :小波基盡可能由少數(shù)的幾個函數(shù)生成 。如何構(gòu)造一種隨原函數(shù)的頻率變化而變化的窗口函數(shù)，這從理論上要求將 Fourier 變換的核函數(shù)與窗口函數(shù)蹂合在一起考慮，這樣就導致了小波的產(chǎn)生 [2]。這與設立窗口的初衷不完全相符，事實上，在函數(shù)變化較快的地方需要較窄的窗口 。函數(shù) 2( 0)axe ?? ? 窗口 Fourier 變換的目的是要在每一點 nt ，處開一個窗口以便觀察函 數(shù) f (t)在該點附近的變化情況。 設函數(shù) g(x)為窗口函數(shù)， f(x)? 2L (R)關(guān)于 w(x)的窗口 Fourier 變換定義為 : ( ) ( ) ( ( ) ) ( )jwtbtF f w e f t w t b d? ?????? (12) 其中，作為窗口函數(shù)的 w(t)要求滿足 ： (1) 2( ) ( )w t L R? ； (2) 2( ) ( )tw t L R? ； (3) 2( )( ) ( )wF w w L R? ； 從以上定義可以看出，這樣的窗口函數(shù)必須在無窮遠處迅速趨向于零。這從 Fourier 變換的表達式中不含 時域（ 空域 ） 變量這一點可以看出。但 Fourier 分析并非完美無缺。 Fourier 變換具有許多重要性質(zhì)，如卷積性質(zhì)和能量守恒性質(zhì)等。 Fourier 分析由兩個變換組成，即積分 Fourier 變換和離散 Fourier 變換。 本課題對 小波理論做了粗淺的研究，并給出了小波在某些圖像處理中的應用結(jié)果 [1]。但在某些方面的應用并沒有達到很完美的程度 。平面圖像可以看成二維信號，因此，小波分析很 自然地被運用到圖像處理領(lǐng)域。從此，小波分析開始了蓬勃發(fā)展的階段。后來， Stromberg 構(gòu)造了第一個小波基。但 Fourier 變換很難滿足這一要求，隨后他引用了高斯余弦調(diào)制函數(shù)，將其伸縮平移得到一組函數(shù)系，該函數(shù)系后來被稱作 Morlet 小波基。小波的概念是由法國的從事石油勘測信號處理的地球物理學家Morlet 于 1984 年提出的。 與 Fourier 分析和 Gabor 變換相比，小波變換是時間 (空間 )頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分、低頻處頻率細分 (實際就是時間粗分 )，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，解決了 Fourier 變換的困難問題，成為繼 Fourier 分析以來在科學方法上的重大突破。數(shù)學家認為，小波分析是一個新的數(shù)學分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、樣條分析和數(shù)值分析的完美結(jié)晶 。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析。 Digital image sharpness 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 1 第一章 前言 小波分析 概述 小波分析真正作為一門理論或?qū)W科被研究僅僅是 20 年的事情。 Multiscale edge detecting。 關(guān)鍵詞 : 小波分析 ； 多尺度邊緣檢測 ； 圖像壓縮 ； 數(shù)字 圖像 清晰化 The Application and Study of Wavelet Analysis in Digital 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） II Image Processing ABSTRACT Wavelet analysis is a tool of timefrequency analysis after Fourier analysis. In the field of image processing, its application covered imaging technique, image preprocessing, image pression and transferring, image registration, image analysis, feature extraction and pattern classification, etc. In this paper, it’s researched on wavelets application in the fields of mufti scale edge detection, remote sensing image processing and medical imaging. The traditional methods of edge detection are based on one order derivative’s maximum, or twoorder derivative’s zerocrossing. This kind of edge definition is very sensitive to noises. And thus, edge detection should be carried out in large scale, by which the image was smoothed. One of the shortings of edge detection in large scale