蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-132空間向量的應(yīng)用2篇-文庫(kù)吧資料
2024-11-28 00:26本頁(yè)面
【正文】 B 、 CD 的中點(diǎn)，求證：平面 AED⊥平面 11AFD ． 證明：設(shè) 1AB AD AA? ? ?， ，a b c，且 1? ? ?a b c 則 0? ? ?a b a c b c． 設(shè) 1 1 1x y z? ? ?m a b c是平面 AED的一個(gè)法向量，則 1 1 1 1( ) 0A D x y z y? ? ? ? ?m a b c b，即 1 0y? ． 1 1 1 1 111( ) 022A E x y z x z??? ? ? ? ? ? ?????m a b c a c， 即1112xz??． 因此，可以取 1 1 11 0 2x y z? ? ? ?， ， ． 于是， 2??m a c ． 同理，設(shè) 2 2 2x y z? ? ?n a b c是平面 11AFD 的一個(gè)法向量，則 110AD?n ， 即 2 0y? ． 1 0DF?n ，所以 222xz? ， 不防取 2??n a c ， 從而 ( 2 ) ( 2 ) 0? ? ? ?m n a c a c， 所以平面 AED⊥平面 11AFD ． 應(yīng)用 2 2aa? 求線 段長(zhǎng)度 由空間向量的數(shù)量積公式容易得到公式： 2 2?aa，應(yīng)用這個(gè)公式可以解決空間問(wèn)題中兩點(diǎn)之間的 距離，即空間的距離問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積加以解決．事實(shí)上公式2 2?aa在計(jì)算空間線段長(zhǎng)度方面的應(yīng)用非常廣泛，下面舉例加以說(shuō)明． 例 1 如圖 1，三棱錐 P ABC? 中， PA=PB， CB⊥面 PAB， M、 N分別在 PC、 AB上， 且 PM=MC， AN=3NB， （ 1）求證： MN⊥ AB； （ 2）當(dāng)∠ APB=90176。 BC=2， AB=4時(shí)，求 MN的長(zhǎng)． 簡(jiǎn)解：（ 1）設(shè) PA PB BC? ? ?， ，a b c， 則 ?ab，且 0?ac ， 0?bc ， AB??ba， PC??bc， 1 ()2PM ??bc， 1 1 3()4 4 4P N P B B N? ? ? ? ? ? ?b a b a b， ∴ 1 1 14 4 2M N P N P M? ? ? ? ?a b c， ∴ 1 1 1()4 4 2A B M N ??? ? ? ?????b a a b c 221 1 1 14 4 2 2? ? ? ?b a c b c a 2211 044? ? ?ba ∴ AB⊥ MN； （ 2）∵∠ APB=90176。的 二面角，求折疊后 BD的長(zhǎng)． 簡(jiǎn)解：作 DE⊥ AC， BF⊥ AC，點(diǎn) E、 F為垂足， 則 22AC AD DC? ? ?5cm， 4 3 1 255DE BF ?? ? ? cm， 23955AE CF? ? ?cm， 75EF? cm． 折疊后， DE、 EF、 FB的長(zhǎng)度保持不變，且 2 2()B D B F F E E D? ? ? 2 2 2 2 2 2B F F E E D B F F E B F E D F E E D? ? ?
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