蘇教版高中數學選修2-132空間向量的應用2篇(參考版)
2024-11-24 00:26本頁面
【正文】 BC=2， AB=4， 則 0? ? ?a b a c b c且 22??ab ， 2?c ， ∴ 21 1 1 1 ( 2 )4 4 2 4MN ? ? ? ? ? ?a b c a b c 2 2 21 4 2 4 44? ? ? ? ? ?a b c a b a c b c 1 8 8 1 6 24? ? ? ? 即 MN的長為 2 ． 例 2 如圖 2，有一長方形的紙片 ABCD，長 AB＝ 4cm，寬 AD＝ 3cm，現沿它的一條對角線 AC 把它折疊成 120176。 數量積公式巧證垂直問題 對于空間兩個非零向量 a， b 來說，如果它們的夾角 ??，ab ，那 么我們定義它們的數量積為 cos??a b a b ．特別地，當兩向量垂直時， 0? ? ?a b a b ．利用該結論，可以很好地解決立體幾何中線線垂直或線面垂直的問題． 1．證明直線與直線垂直，可以轉化為證明這兩條直線上的非零 向量的數量積為零．反之亦成立． 例 1 如圖 1，已知空間四邊形 ABCD中， AB⊥ CD，且 AD⊥ BC，求證： AC⊥ BD． 證明：設以空間一點 O 為起點， A、 B、 C、 D 為終點的向量分別記為 a、 b、 c、 d，由已知， AB⊥ CD，且 AD⊥ BC， 所 以 ( ) ( ) 0( ) ( ) 0? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ??? ， ，．b a d c a c b d a d b cd a c b a c b d a b c d． ∴ ? ? ?a d b c a b c d，即 ( ) ( ) 0? ? ?c a d b ． 因此， AC⊥ BD 評述：本題的結論是說，三棱錐中若兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也互相垂直．它的傳統證法是過 A點作平面 BCD的垂線，通過三垂線定理及其逆定理來證明．以上用空間向量數量積作為工具，將幾何問題代數化、程序化地解決 2．證明直線與平面垂直，可以轉化為證明這條直線上的非零向量與平面內兩相交直線上的非零向量的數量積都為零． 例 2 直線 l與平面 ? 相交于點 O，求證：若直線 l與平面 ? 內的過 O點的三條射線所成的角相等，則直線 l⊥平面 ? 證明：如圖 2，在直線 l 上任取 一點 P（ Ｐ 點不與 Ｏ 點重合），在平面 ? 內過 O 點的三條射線上分別取點 A、 B、 C，使 OA=OB=OC≠０， 設∠ POA=∠ POB=∠ POC=? ，則易得 OP OA OP OB OP OC??， 所以 ( ) ( ) 0O P O A O B O P O C O B? ? ? ?， 所以 OP BA? ， OP BC? ] 由于 BA、 BC是平面 ? 內的兩條相交直線， 因此，直線 l⊥平面 ? ． 3．證明兩個平面垂直，可以轉化為證明這兩個平面的法向量的數量積為零． 例 3 如圖 3，在正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E、 F 分別是 1B
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