【正文】 21 1)( ?????s，極點(diǎn)為 11 ??? j? ，則對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式 TTTezTez Tez 11 1 2211 11c os21 s in ???????????? ?利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。上式中， )( ?jeH 的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當(dāng) T 較小時(shí)， )( ?jeH就會(huì)有太高的增益。但這樣會(huì)增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計(jì)。這樣會(huì)使設(shè)計(jì)出的濾波器在 π =T附近頻率不同程度的偏離莫逆濾波在 π =T 附近的 頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。其 T?2為周期，沿虛軸方向進(jìn)行周期變換。當(dāng)模擬頻率 Ω 從 T?? 變換到 T? 時(shí)，數(shù)字頻率 ω則從 π 變換到 π ，且按照 ⑥ 式 T??? ， 即 ω 與 Ω 之間成線性關(guān)系?；蛘?19 說(shuō)，將 s 平面沿著 jΩ 軸分割成一條條寬為 T?2 的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè) z 平面。這說(shuō)明如果 )(sHa 因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到 H(z)仍是因果穩(wěn)定的。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。 設(shè) )(tha 的采樣信號(hào)用 )(?tha 表示， ???????n aanTtthth )()()(? ? 對(duì) )(?tha 進(jìn)行拉氏變換，得到： ?? ???????????????ns n TastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()]()([)(?)(?? 式中 )(nTha 是 )(tha 在采樣點(diǎn) t=nT 時(shí)的幅度值，它與序列 h(n)的幅度值相等，即 h(n)= )(nTha ,因此得到： sTn nns n Ta ezzHznhenhsH ???? ? ? ?? ),()()()(? 上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的 Z 變換之間的映射關(guān)系可用下式表示 : sTez ? ④ 我們知道模擬信號(hào) )(tha 的傅里葉變換 )( ?jHa 和其采樣信號(hào) )(?tha 的傅里葉變換)(? ?jHa 和其采樣 信號(hào) )(?tha 的傅里葉變換 )(? ?jHa 之間的關(guān)系滿足式： ??????????k saajkjHTjH )(1)(? 18 將 ??js 代入上式，得 ? ???? k saa jksHTjH )(1)(? ⑤ 由式 ④ ⑤ 得到： ? ???? k saez jksHTzH sT )(1)( 上式表明將模擬信號(hào) )(tha 的拉氏變換在 s 平面上沿虛軸按照周期 Ts ?2??延遲后，再按照 ④ 式可稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系，映射到 z 平面上，就得到 H(z)。將 )(sHa 逆拉氏變換得到 )(tha ： )()( 1 teAthtsNi iai ???? 式中 u(t)是單位階躍函數(shù)，對(duì) )(tha 進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到 )()()( 1 nTueAnThthnTsNi iai???? 對(duì)上式進(jìn)行 Z 變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)： ?? ???Ni Tsi zeAzHi1 11)( 可以看出， )(sHa 的極點(diǎn) is 映射到 z 平面，其極點(diǎn)變成 Tsie ，系數(shù) iA 不變化。因此脈沖響應(yīng)不變法師一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，它是 h(n)在采樣點(diǎn)上等于 )(tha 。先說(shuō)一下脈沖響應(yīng)不變法。 ② 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響， s 平面 的虛軸映射 z 平面的單位圓，相應(yīng)的頻率至間成線性關(guān)系。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其傳輸函數(shù) )(sHa 的極點(diǎn)全部位于 s 平面的左半面；數(shù)字濾波器因果則要求 )(zH 的極點(diǎn)全部在單位院內(nèi)。這樣這機(jī)的關(guān)鍵 模擬低通濾波原型 頻率變換 模擬離散化 16 問(wèn)題就是找這種 轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 s 平面上的 )(sHa 轉(zhuǎn)換成 z 平面上的 )(zH 。設(shè)計(jì)過(guò)程是：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波其的傳輸函數(shù) )(sHa 。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù) s 域映射z 域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù) H(S)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。在 MATLAB 中，經(jīng)典法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器采用下面的主要步驟框圖： IIR 濾波器 由上可見(jiàn)，經(jīng)典設(shè)計(jì)法是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果。這就是 IIR 濾波器設(shè)計(jì)的經(jīng)典方法。這種方法根據(jù)模擬理論設(shè)計(jì)滿足要求的傳遞函數(shù) )(sHa ，然后再根據(jù) )(sHa 求的相應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(z)，使得 H(z)的頻率響應(yīng)逼近 )(sHa ，同時(shí) H(z)也必須保持 )(sHa 的因果性和穩(wěn)定性。這是一種做優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法，先確定一種最佳準(zhǔn)則，然后求在此準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。此法官法一般來(lái)說(shuō)技術(shù)比較成熟，故設(shè)計(jì)起來(lái)比較簡(jiǎn)單。這兩類(lèi)濾波器都可以實(shí)現(xiàn)各種頻率特性要求，但它們?cè)谟?jì)算機(jī)流程、具體特性逼近等方面是有差別的。 （ 1） 低通數(shù)字濾波器：如圖所示 5 所示 ????????????????ccjj eHeH0)()( )(?jeH ?2 ? c? c? ? ?2 f 圖 5 低通濾波器的頻譜 （ 2） 高通數(shù)字濾波器：如圖 6 所示 13 ?????????ccjj weHeH ? ????? 0 )()( )(?jeH ?2 ? c? c? ? ?2 f 圖 6 高通數(shù)字濾波器的頻譜 （ 3） 數(shù)字帶通濾波器：如圖 7 所示 ????????????0,0)()(2121 ????? ????? jj eHeH )(?jeH 2π π ω 1 ω 2 ω 2 ω 1 π 2π 圖 7 帶通數(shù)字濾波器的頻譜 （ 4） 帶阻數(shù) 字濾波器的設(shè)計(jì)，如圖 8 所示 ????????????0,0)()(2121?????????? jj eHeH 14 )(?jeH 2π π ω 2 ω 2 π 2π 圖 8 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜 其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合。 )(nyi )(1nyi? ki ki )(nei )(1nei? 全極點(diǎn) IIR 格型濾波器的基本接 數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù) )( jweH 來(lái)描述，包括幅度特性)( jweH 和相位特性 ))(arg( jweH 。格型結(jié)構(gòu)又可分為兩種，一種是所謂的全極點(diǎn)結(jié)構(gòu)，另一種是既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)的極零結(jié)構(gòu)。以上幾種結(jié)構(gòu)是 IIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)。 x(n) a0 b0 y(n) z1 a1 b1 z1 a2 b2 aN2 bN2 z1 aN1 bN1 直接 Ⅱ 型 IIR 結(jié)構(gòu) 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)采用多個(gè)二階基本節(jié)級(jí)聯(lián)而成，每 一個(gè)二階基本節(jié)客采用直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，這種結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器的零極點(diǎn)，也便于性能調(diào)整。直接 Ｉ 型結(jié)構(gòu)需要 2N 級(jí)延遲單元，直接 Ⅱ 型結(jié)構(gòu)與直接 Ｉ 型結(jié)構(gòu)相比節(jié)省了一半延遲，即需要 N 級(jí)延遲單元，是最常用的 IIR 濾波器結(jié)構(gòu)之一。（ 1）直接 I 型（也稱(chēng)直接型）；（ 2）直 接 Ⅱ 型（也稱(chēng)正準(zhǔn)型）；（ 3)級(jí)聯(lián)型；（ 4）并聯(lián)型（ 5）格型 。 IIR 濾波器由于具有結(jié)果簡(jiǎn)單、那算量小的特點(diǎn)，因而得到了廣泛的應(yīng)用。 )()()(1010 knybknxanyNk kNk k ???? ?????? 數(shù)字濾波器 h (n ),H (z ) 11 IIR 濾波器具有無(wú)限長(zhǎng)的單位脈沖響應(yīng)，在結(jié)構(gòu)上存在反饋回路，即是遞歸型的。本文討論 IIR 數(shù)字濾波器在 DSP 上的實(shí)現(xiàn)思路，并對(duì)其實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了分析。 DSP 芯片有適合于數(shù)字信號(hào)處理的軟件資源和硬件資源，是實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理的重要途徑口。 數(shù)字濾波器在各種數(shù)字信號(hào)處理中發(fā)揮著十分重要的作用，數(shù)字 濾波器設(shè)計(jì)一直是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要研究課題。 10 x(n) y(n) y(n) x(z) y(z) y(z) 圖 4 數(shù)字濾波器原理 數(shù)字濾波器的序列 y (n )將是這兩個(gè)序列的離散卷積，即 ???? ?? k knxkhy )()( 同樣，兩個(gè)序列卷積的 z 變換等于各自 z 變換的乘積，即 Y (z)=H(z)X(z) 用 jwTez? 打入上式，其中 T 為抽樣周期，則得到 )()()( jw Tjw Tjw T eXeHeY ? 式中 )( jwTeX 和 )( jwTeY 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而)( jwTeH 為單位抽樣序列響應(yīng) h(n)的頻譜。設(shè)輸入序列為 x(n),離散或數(shù)字濾波器