【文章內(nèi)容簡介】 IIR 濾波器設(shè)計的經(jīng)典方法。經(jīng)典法可設(shè)計出低通、高通、帶通、帶阻等各種 IIR 濾波器。在 MATLAB 中，經(jīng)典法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器采用下面的主要步驟框圖： IIR 濾波器 由上可見，經(jīng)典設(shè)計法是利用模擬濾波器的設(shè)計成果。第二步完成之后，一個達 到期望性能指標的模擬濾波器已經(jīng)設(shè)計出來。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù) H(S)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。數(shù)字濾波器的設(shè)計工作就完成了。實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù) s 域映射z 域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。 2）設(shè)計方法 （ 1）脈沖響應(yīng)不變法 利用模擬濾波器成熟理論和設(shè)計方法來設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的方法。設(shè)計過程是：按照技術(shù)要求設(shè)計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波其的傳輸函數(shù) )(sHa 。轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。這樣這機的關(guān)鍵 模擬低通濾波原型 頻率變換 模擬離散化 16 問題就是找這種 轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 s 平面上的 )(sHa 轉(zhuǎn)換成 z 平面上的 )(zH 。為保證轉(zhuǎn)換后的 )(zH 穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： ① 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其傳輸函數(shù) )(sHa 的極點全部位于 s 平面的左半面；數(shù)字濾波器因果則要求 )(zH 的極點全部在單位院內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)該是 s 平面的在半平面映射 z 平面的單位圓內(nèi)部。 ② 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響， s 平面 的虛軸映射 z 平面的單位圓，相應(yīng)的頻率至間成線性關(guān)系。 將傳輸函數(shù) )(sHa 從 s 平面轉(zhuǎn)換到 z 平面得方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。先說一下脈沖響應(yīng)不變法。 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 )(sHa ，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是 )(tha ，)]([)( thLTsH aa ? ， LT[.]代表拉氏變換，對 )(tha 進行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到 )(nTha ，將 h(n)= )(nTha 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)便是 h(n)的 Z 變換。因此脈沖響應(yīng)不變法師一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，它是 h(n)在采樣點上等于 )(tha 。 設(shè)模擬濾波器 )(sHa 只有單階極點。將 )(sHa 逆拉氏變換得到 )(tha ： )()( 1 teAthtsNi iai ???? 式中 u(t)是單位階躍函數(shù)，對 )(tha 進行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到 )()()( 1 nTueAnThthnTsNi iai???? 對上式進行 Z 變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)： ?? ???Ni Tsi zeAzHi1 11)( 可以看出， )(sHa 的極點 is 映射到 z 平面，其極點變成 Tsie ，系數(shù) iA 不變化。 17 接下來我們分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器， s 平面和 z 平面之間的映射關(guān)系 )(tha 作為橋梁，推到其映射關(guān)系。 設(shè) )(tha 的采樣信號用 )(?tha 表示， ???????n aanTtthth )()()(? ? 對 )(?tha 進行拉氏變換，得到： ?? ???????????????ns n TastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()]()([)(?)(?? 式中 )(nTha 是 )(tha 在采樣點 t=nT 時的幅度值，它與序列 h(n)的幅度值相等，即 h(n)= )(nTha ,因此得到： sTn nns n Ta ezzHznhenhsH ???? ? ? ?? ),()()()(? 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的 Z 變換之間的映射關(guān)系可用下式表示 : sTez ? ④ 我們知道模擬信號 )(tha 的傅里葉變換 )( ?jHa 和其采樣信號 )(?tha 的傅里葉變換)(? ?jHa 和其采樣 信號 )(?tha 的傅里葉變換 )(? ?jHa 之間的關(guān)系滿足式： ??????????k saajkjHTjH )(1)(? 18 將 ??js 代入上式，得 ? ???? k saa jksHTjH )(1)(? ⑤ 由式 ④ ⑤ 得到： ? ???? k saez jksHTzH sT )(1)( 上式表明將模擬信號 )(tha 的拉氏變換在 s 平面上沿虛軸按照周期 Ts ?2??延遲后，再按照 ④ 式可稱為標準映射關(guān)系，映射到 z 平面上，就得到 H(z)。 ④ 式可稱為標準映射關(guān)系。下面進一步分析這種映射關(guān)系。設(shè) ?? jrezjs ???? 按照 ④ 式，得到： Tjtj eere ?? ?? 因此得到： ??? ??? Ter T? ? ⑥ 1,0 ?? r? 那么 1,0 ?? r? 1,0 ?? r? 上式關(guān)系說明， s 平面的虛軸映射 z 平面的單位圓 (r=1)， s 平面在平面映射 z 平面單位內(nèi) (r1),s 平面映射 z 平面單位圓外 (r1)。這說明如果 )(sHa 因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到 H(z)仍是因果穩(wěn)定的。 另外，注意到 sTez ? 是一個周期函數(shù)，可寫成 tTmjTTjtsT eeeee )2( ??? ??? ?? M 為任意整數(shù)當 σ 不變，模擬頻率 Ω 變化 T?2 的整數(shù)倍時，映射值不變?；蛘?19 說，將 s 平面沿著 jΩ 軸分割成一條條寬為 T?2 的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對應(yīng)著整個 z 平面。此時 )(? ZHa 所在的 s 平面與 )(? ZHa 所在的z 平面的映射關(guān)系如圖所示。當模擬頻率 Ω 從 T?? 變換到 T? 時，數(shù)字頻率 ω則從 π 變換到 π ，且按照 ⑥ 式 T??? ， 即 ω 與 Ω 之間成線性關(guān)系。 但是，從模擬信號 )(tha 到采樣信號 )(?tha ，其拉氏變換要按照 ⑥ 式。其 T?2為周期，沿虛軸方向進行周期變換。如果原模擬信號的頻帶不是限于 T?? 之間，則會在 T?? 得奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到 z 平面上，在 ?? ?? 附近產(chǎn)生混疊。這樣會使設(shè)計出的濾波器在 π =T附近頻率不同程度的偏離莫逆濾波在 π =T 附近的 頻率特性，嚴重時使濾波器不滿足給定的技術(shù)指標。因此，希望設(shè)計的濾波器是帶限濾波器，如果不是帶限的，例如高通濾波器，帶阻濾波器，需要在高通帶阻濾波器之前加保護濾波器，濾除高于折疊頻率 T? 以上的頻帶，以避免產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。但這樣會增加系統(tǒng)的成本和復雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計。 假設(shè) )(? ?jHa 沒有頻率混疊現(xiàn)象，既滿足 TjH a ????? ,0)(? 將關(guān)系式 TjS ???? ?, 代入，得到： ???? ?? ),(1)( TjHTeH aj 說明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。上式中， )( ?jeH 的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當 T 較小時， )( ?jeH就會有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令 )()( nTThnh a? 那么 ?? ???Ni Tsi zeTAzHi1 11)( ，此時 ???? ?? ),()( TjHeH aj 一般 )(sHa 的極點 iS 是一個復數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在式中講一對復數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本的形 20 式為 2121 1)( ????? ?s s，極點為 11 ??? j? 可以推導出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)的乘法 )的形式為 TTTezTez Tez 11 1 2211 11c os21 c os1 ???????????? ?? 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 2121 1)( ?????s，極點為 11 ??? j? ，則對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式 TTTezTez Tez 11 1 2211 11c os21 s in ???????????? ?利用以上這些變換關(guān)系，可以簡化設(shè)計。 （ 2）雙線性變化法 這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 T?? 之間，再用 sTez ? 轉(zhuǎn)換到 z 平面上。設(shè) )(sHa ， s=jΩ ，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用 111),( ?? jssHa 表示，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： ) n (2 1TT ??? 式中 T 仍是采用間隔，當從 π /Ω 經(jīng)過 0 變換到 π /Ω 時， Ω 則由 ?? 經(jīng)過 0變化到 ?? ， 實現(xiàn)了 s 平面上整個虛軸完全壓縮到 1s 平面上虛軸的 T?? 之間的變換。這樣便有 ∞ TsTszzTTthTs11112)(21 ??????? 再通過 sTez ? 轉(zhuǎn)換到 z 平面上，得到： 11112????? zzTs ⑦ sTsTz??? 22 ⑧ 式 ⑦ 或式 ⑧ 稱為雙線性變換。從 s 平面映射到 1s 平面，再從 1s 平面映射到 z 21 平面，其映射情況如圖 9 所示。由于從 s 平面到 1s 平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從 1s 平面轉(zhuǎn)換到 z 平面仍然采用標準轉(zhuǎn)換關(guān)系 sTez ? ， 1s 平面的數(shù) T?? 之間水平帶的左半部分映射 z 平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣， )(sHa 因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換城的 H(z)也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率 Ω 和數(shù)字頻率 ω 之間的關(guān)系。 令 ?jezjs ??? , ，并代入 ⑦ 式中，有 ??? 21t a n2112 TeeTjjj ???????? ⑨ 上式說明， s 平面上 Ω 與平面上的 ω 成非線性正切關(guān)系。如圖 10 所示。在 ω =0附近接近線性關(guān)系；當 ω 增加時， Ω 增加得越來越快；當 ω 趨近 π 時， Ω 趨近于∞ 。正是因為這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。 Ω π 0 π 圖 10 雙線性變換法的頻率變換 ω 與 Ω 之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，直接影響數(shù)字濾波器頻率響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖 11 所示。這種非線性影響的實質(zhì)問題是：如果 Ω 的刻度均勻的，則映射 到 z平面 ω 的刻度不是均勻的，而是隨 ω 增加越來越密。 22 Ω Ω )( ?jHa ? ? Ω