【正文】 余 4四人 依次 插入共有 方法 4*5*6*7定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理 練習(xí)題 10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人 ,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 510C回目錄 例 期中安排考試科目 9門(mén) ,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考 ,有多少種不同的安排順序 ? 解 不加任何限制條件 ,整個(gè)排法有 種 ,“語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考 ” ,與 “ 數(shù)學(xué)安排在語(yǔ)文之前考 ” 的排法是相等的 ,所以語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種 . 99A9921A結(jié)論 對(duì)等法 :在有些題目中 ,它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的 ,各占全體的二分之一 .在求解中只要求出全體 ,就可以得到所求 . 分析 對(duì)于任何一個(gè)排列問(wèn)題 ,就其中的兩個(gè)元素來(lái)講的話 ,他們的排列順序只有兩種情況 ,并且在整個(gè)排列中 ,他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的 ,因此要求其中的某一種情況 ,能夠得到全體 ,那么問(wèn)題就可以解決了 .并且也避免了問(wèn)題的復(fù)雜性 . 回目錄 住店法 解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。 473377 AAA ?分析：先在 7個(gè)位置上作全排列，有 種排法。 “ 插空 ” 有同時(shí)“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 例 6 有 4名男生， 3名女生。遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８ 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰， ３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰， 這樣的八位數(shù)共有 ___________個(gè)．（用數(shù)字作答） 將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列 有 種，再將７、８插入 4個(gè)空位中的兩個(gè) 有 種，故有 種． 482333 ??A1224 ?A 5 7 61248 ??引申 :用１、２、３、４、５、６、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６ 相鄰，現(xiàn)將 8 插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４ 相鄰，５與６相鄰，那么插法共有 ___________種． （用數(shù)字作答） 回目錄 “相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空” 例 七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種 960種 （ B） 840種 （ C） 720種 （ D） 600種 解： 2422 4 5 960AAA? ? ?另解： 2 5 12 5 4 960A A A? ? ?回目錄 練習(xí) 某城新建的一條道路上有 12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （ A） 種（ B） 種 （ C） 種 （ D） 種 38C 38A 39C 311C解： 38C回目錄 例 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。 44A35A 3544 AA回目錄 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 .如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 30 練習(xí)題 回目錄 （ 1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？ （ 2） 三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排， 男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？ 捆綁法： 443322 AAA ??4433 AA ?插空法： （ 3） (2020 要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題 ,可以用 捆綁法來(lái)解決問(wèn)題 .即將需要相鄰的元素合并 為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時(shí) 要注意合并元素內(nèi)部也必須排列 . 回目錄 例 5個(gè)男生 3個(gè)女生排成一排 ,3個(gè)女生要排在一起 ,有多少種不同的排法 ? 33P66P3366 PP解 因?yàn)榕旁谝黄?,所以可以將 3個(gè)女生看成是一個(gè)人 ,與 5個(gè)男生作全排列 ,有 種排法 ,其中女生內(nèi)部也有 種排法 ,根據(jù)乘法原理 ,共有 種不同的排法 . 結(jié)論 捆綁法 :要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題 ,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題 .即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列 . 分析 此題涉及到的是排隊(duì)問(wèn)題 ,對(duì)于女生有特殊的限制 ,因此 ,女生是特殊元素 ,并且要求她們要相鄰 ,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來(lái)解決問(wèn)題 . 回目錄 某人射擊 8槍，命中 4槍， 4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ） 練習(xí)題 20 回目錄 有 8本互不相同的書(shū) ,其中數(shù)學(xué)書(shū) 3本 ,外文書(shū) 2本 ,其他書(shū) 3本 .若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上 ,則數(shù)學(xué)書(shū)恰好排在一起 ,外文書(shū)也恰好排在一起的排法共有 _____ 種 (結(jié)果用數(shù) 值表示 ). 回目錄 不相鄰問(wèn)題插空策略 例 4個(gè)舞蹈 ,2個(gè)相聲 ,3個(gè) 獨(dú)唱 ,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng) ,則節(jié)目的出 場(chǎng)順序有多少種 ？ 解 :分兩步進(jìn)行第一步排 2個(gè)相聲和 3個(gè)獨(dú)唱共 有 種， 55A第二步將 4舞蹈插入第一步排 好的 6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有 種 不同的方法 46A由分步計(jì)數(shù)原理 ,節(jié)目的 不同順序共有 種 55A 46A相 相 獨(dú) 獨(dú) 獨(dú) 元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端 回目錄 不相鄰問(wèn)題 ——插空法 對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問(wèn)題，可先將其它 元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素 之間及兩端的空隙之間插入即可。 排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn) “ 重 ” 、 “ 漏 ”現(xiàn)象，而重 ” 、 “ 漏 ” 錯(cuò)誤常發(fā)生在該不該分類、有無(wú)次序的問(wèn)題上。理 )在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被５整除的數(shù)共有 _____________個(gè)． 1444AA1244PP?1 1 24 3 4PPP??1244PP? 1 1 24 3 4PPP?? 解：不能被 5整除的有兩種情況：情況 首位為 5有 種，情況 首位不是 5的有 種，故在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中， 不能被５整除的數(shù)共有 + =192(個(gè) )． 192 小結(jié)： “ 在 ” 與 “ 不在 ” 可以相互轉(zhuǎn)化。 （ 4） (2020 北京 例 2 用 0， 1， 2， 3， 4這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因?yàn)?0不能排首位，故 0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。 情況三 ： 甲、乙兩人都去游覽 ,有 種選擇方案 , 綜上不同的選擇方案共有 + + =240 1 1 3 32 3 4 3C C C P2 2 1 32 4 3 3C C C P44P1 1 3 32 3 4 3C C C P 2 2 1 32 4 3 3C C C P44P（間接法） 個(gè)）(240353546 ??? AAA回目錄 4名男生和 3名女生中選出 4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這 4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 _______ 34 練習(xí)題 2. 3成人 2小孩乘船游玩 ,1號(hào)船最多乘 3人 , 2 號(hào)船最多乘 2人 ,3號(hào)船只能乘 1人 ,他們?nèi)芜x 2只船或 3只船 ,但小孩不能單獨(dú)乘一只船 , 這 5人共有多少乘船方法 . 27 回目錄 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略 例 0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù) . 解 :由于末位和首位有特殊要求 ,應(yīng)該優(yōu)先安 排 ,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置 先排末位共有 ___ 然后排首位共有 ___ 最后排其它位置共有 ___ 13C13C14C14C34A34A由分步計(jì)數(shù)原理得 =288 13C14C34A位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法 ,若以元素分析為主 ,需先安排特殊元素 ,再處理其它元素 .若以位置分析為主 ,需先滿足特殊位置的要求 ,再處理其它位置。福建 分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的 始終。 以只會(huì)唱歌的 5人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究 只會(huì)唱 的 5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有 ____ 種 ,只會(huì)唱的 5人中只有 1人選上唱歌人 員 ________種 ,只會(huì)唱的 5人中只有 2人 選上唱歌人員有 ____種，由分類計(jì)數(shù) 原理共有 ______________________種。全國(guó) .(1008)(2 44141455 種）???? AAAA 回目錄 把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ) 例 1 如圖，某電子器件是由三個(gè)電 阻組成的回路 ,其中有 6個(gè)焊接 點(diǎn) A， B， C， D， E， F，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通。 解法 1 分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類： 根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有 例 1 6個(gè)同學(xué)和 2個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？ 1）若甲在排尾上，則剩下的 5人可自由安排，有 種方法 . 55A2) 若甲在第 7位，則 排尾的排法有 種， 1位的排法有 種 , 第 7位的排法有 種 ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有 種。 A. 6 種 B. 9種 （ 3 3 1= 9. 可用框圖具體填寫(xiě)