【正文】 5A 3544 AA回目錄 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 .如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 30 練習(xí)題 回目錄 （ 1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？ （ 2） 三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排， 男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？ 捆綁法： 443322 AAA ??4433 AA ?插空法： （ 3） (2020 47A1 47A思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ? 回目錄 （ 插入法 )先排甲乙丙三個(gè)人 ,共有 1種排法 ,再 把其余 4四人 依次 插入共有 方法 4*5*6*7定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理 練習(xí)題 10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人 ,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 510C回目錄 例 期中安排考試科目 9門 ,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考 ,有多少種不同的安排順序 ? 解 不加任何限制條件 ,整個(gè)排法有 種 ,“語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考 ” ,與 “ 數(shù)學(xué)安排在語(yǔ)文之前考 ” 的排法是相等的 ,所以語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種 . 99A9921A結(jié)論 對(duì)等法 :在有些題目中 ,它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的 ,各占全體的二分之一 .在求解中只要求出全體 ,就可以得到所求 . 分析 對(duì)于任何一個(gè)排列問(wèn)題 ,就其中的兩個(gè)元素來(lái)講的話 ,他們的排列順序只有兩種情況 ,并且在整個(gè)排列中 ,他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的 ,因此要求其中的某一種情況 ,能夠得到全體 ,那么問(wèn)題就可以解決了 .并且也避免了問(wèn)題的復(fù)雜性 . 回目錄 住店法 解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。 69 84C ?（ 2）不定方程 的正整數(shù)解共有（ ）組 1 2 3 710x x x x? ? ? ? ?69 84C ?回目錄 練習(xí)題 5個(gè)盒中 ,每盒至少一 有多少裝法？ 2 .x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解 的組數(shù) 3103C49C回目錄 小結(jié)： 把 n個(gè)相同元素分成 m份 ,每份至少 1個(gè)元素 ,問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題可以采用 “ 隔板法 ” 得出共有 種 . 11mnC ??回目錄 正難則反總體淘汰策略 例 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三 個(gè)數(shù)，使其和為不小于 10的偶數(shù) ,不同的 取法有多少種？ 解：這問(wèn)題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很 困難 ,可用總體淘汰法。 m等分的組合問(wèn)題是非等分情況的 。如填 2，則第二方格中內(nèi)可填 1或 3或 4。 解： 1 2 1 16 5 2 2 240C C C C? ? ? ?回目錄 練習(xí) 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有 ____種 解： 4 4 1 412 6 2( ) 255C C C? ? ?回目錄 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用 公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀 圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果 練習(xí)題 1. 同一寢室 4人 ,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái) , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9) ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現(xiàn)有 4種可選顏色 ,則 不同的著色方法有 ____種 2 1 3 4 5 72 回目錄 分解與合成策略 例 . 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除 分析：先把 30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2 3 5 7 11 13依題 意可知偶因數(shù)必先取 2,再?gòu)钠溆?5個(gè) 因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有 的偶因數(shù)為： 0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5C C C C C C? ? ? ? ?例 8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面 直線 回目錄 解：我們先從 8個(gè)頂點(diǎn)中任取 4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四 體共有體共 __________ 每個(gè)四面體有 ___ 對(duì)異面直線 ,正方體中的 8個(gè)頂點(diǎn)可連成 ____________對(duì)異面直線 48 12 58C ??3 3 58=174 分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最 基本的解題策略 ,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾 個(gè)小問(wèn)題逐一解決 ,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的 結(jié)構(gòu) ,用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn) 題合成 ,從而得到問(wèn)題的答案 ,每個(gè)比較復(fù) 雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略 回目錄 化歸策略 例 . 25人排成 5 5方隊(duì) ,現(xiàn)從中選 3人 ,要 求 3人都不在同一行也不在同一列 ,不同的 選法有多少種？ 解： 將這個(gè)問(wèn)題退化成 9人排成 3 3方隊(duì) ,現(xiàn)從中選 3人 ,要求 3人不在同一行也不在同一列 ,有多少選法 .這樣每行必有 1人從其中的一行中選取 1人后 ,把這人所在的行列都劃掉， 回目錄 從 5 5方隊(duì)中選取 3行 3列有 _____選法 所以從 5 5方隊(duì)選不在同一行也不在同 一列的 3人有 __________________選法。依上法有 13A44A 14341N AA?14242N AA?12= + = 1 2 0 ( )NN故 個(gè)N 回目錄 （ 1）練習(xí) :（徐州二檢）從 6人中選 4人組成4 100m接力賽，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？ 分析：（一）直接法 （二）間接法 （ 2） 從正方體的 8個(gè)頂點(diǎn)中選 4個(gè)作四面體，則不同的四面體的個(gè)數(shù)為 。排列組合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過(guò)我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。再?gòu)?5 5方隊(duì)選出 3 3 方隊(duì)便可解決問(wèn)題 1 1 13 2 1C C C回目錄 對(duì)應(yīng)法 例 1在 100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問(wèn)要舉行幾場(chǎng)？ 分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰 99名選手，淘汰一名選手需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，所以淘汰 99名選手就需要 99場(chǎng)比賽。 若第二方格內(nèi)填 3，則第三方格只能填 4，第四方格應(yīng)填 1。決定基礎(chǔ)科抽兩門，文科、理科各抽一門，技能科（音、體、美、信）抽一門。 間接法 (總體淘汰法 ,正難則反） 對(duì)于含有否定詞語(yǔ)的問(wèn)題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時(shí)應(yīng)注意 既不能多減又不能少減。 注：對(duì)此類問(wèn)題，常有疑惑，為什么不是 呢？ 5757 75 57A57C75用分步計(jì)數(shù)原理看， 5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８ 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰， ３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰， 這樣的八位數(shù)共有 ___________個(gè)．（用數(shù)字作答） 將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列 有 種，再將７、８插入 4個(gè)空位中的兩個(gè) 有 種，故有 種． 482333 ??A1224 ?A 5 7 61248 ??引申 :用１、２、３、４、５、６、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６ 相鄰，現(xiàn)將 8 插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４ 相鄰，５與６相鄰，那么插法共有 ___________種． （用數(shù)字作答） 回目錄 “相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空” 例 七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種 960種 （ B） 840種 （ C） 720種 （ D） 600種 解： 2422 4 5 960AAA? ? ?另解： 2 5 12 5 4 960A A A? ? ?回目錄 練習(xí) 某城新建的一條道路上有 12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （ A） 種（ B） 種 （ C） 種 （ D） 種 38C 38A 39C 311C解： 38C回目錄 例 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。理 )在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被５整除的數(shù)共有 _____________個(gè)． 1444AA1244PP?1 1 24 3 4PPP??1244PP? 1 1 24 3 4PPP?? 解：不能被 5整除的有兩種情況：情況 首位為 5有 種，情況 首位不是 5的有 種，故在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中， 不能被５整除的數(shù)共有 + =192(個(gè) )． 192 小結(jié)： “ 在 ” 與 “ 不在 ” 可以相互轉(zhuǎn)化。 情況三 ： 甲、乙兩人都去游覽 ,有 種選擇方案 , 綜上不同的選擇方案共有 + + =240 1 1 3 32 3 4 3C C C P2 2 1 32 4 3 3C C C P44P1 1 3 32 3 4 3C C C P 2 2 1 32 4 3 3C C C P44P（間接法） 個(gè)）(240353546 ??? AAA回目錄 4名男生和 3名女生中選出 4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這 4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 _______ 34 練習(xí)題 2. 3成人 2小孩乘船游玩 ,1號(hào)船最多乘 3人 , 2 號(hào)船最多乘 2人 ,3號(hào)船只能乘 1人 ,他們?nèi)芜x 2只船或 3只船 ,但小孩不能單獨(dú)乘一只船 , 這 5人共有多少乘船方法 . 27 回目錄 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略