第2章-21-222雙曲線的幾何性質(zhì)-文庫吧資料
2024-11-25 15:13本頁面
【正文】 b2a2 )2－ 10 b2a2 ＋ 3 ＝ 0. 解得b2a2 ＝13或b2a2 ＝ 3. 又 ∵ 0 ＜ a ＜ b ， ∴b2a2 ＝ 3. ∴ e ＝ 1 ＋b2a2 ＝ 2. 求雙曲線的離心率，通常先由題設(shè)條件得到 a ， b ， c 的關(guān)系式，再根據(jù) c2＝ a2＋ b2，直接求 a ， c 的值．而在解題時常把ca或ba視為整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于ca或ba的方程，解方程求之，從而得到離心率的值．在本題的 ( 2 ) 中，要注意條件 0 ＜ a ＜ b 對離心率的限制 ，以保證題目結(jié)果的準(zhǔn)確性． 已知 F 1 ， F 2 是雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的兩個焦點(diǎn)， PQ是經(jīng)過 F 1 且垂直于 x 軸的雙曲線的弦，如果 ∠ PF 2 Q ＝ 9 0 176。12 x ，且經(jīng)過點(diǎn) A (2 ，－ 3) ，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) 由已知圓心坐標(biāo)為 ( 5 , 0 ) ，即 c ＝ 5 ，又ca＝ 5 ， ∴a2＝ 5 ， b2＝ 20 ， ∴ 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25－y220＝ 1. ( 2 ) 由雙曲線的漸近線方程為 y ＝ 177。32x ； ( 3 ) 與雙曲線 x2－ 2 y2＝ 2 有公共漸近線，且過點(diǎn) M (2 ，－ 2) ． 【思路探究】 ( 1 ) 雙曲線的焦點(diǎn)位置確定了嗎？如果不確定該怎么辦？ ( 2 ) 與雙曲線 x2－ 2 y2＝ 2 有公共漸近線的雙曲線有什么特點(diǎn)？如何設(shè)出方程？ 【自主解答】 ( 1 ) 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2 －y2b2 ＝ 1 或y2a2 －x2b2 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) ． 由題意知 2 b ＝ 12 ，ca＝54且 c2＝ a2＋ b2， ∴ b ＝ 6 ， c ＝ 10 ， a ＝ 8 ， ∴ 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x264－y236＝ 1 或y264－x236＝ 1. ( 2 ) 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時，由ba＝32且 a ＝ 3 得 b ＝92. ∴ 所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x29－4 y281＝ 1. 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時，由ab＝32且 a ＝ 3 得 b ＝ 2. ∴ 所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為y29－x24＝ 1. ( 3 ) 設(shè)與雙曲線x22－ y2＝ 1 有公共漸近線的雙曲線方程為x22－ y2＝ k ，將點(diǎn) (2 ，－ 2) 代入得 k ＝222－ ( － 2)2＝－ 2 ， ∴ 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為y22－x24＝ 1. 1 ． 利用待定系數(shù)法求雙曲線方程應(yīng)先 “ 定形 ” ( 確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 ) ，再 “ 定量 ” ( 求出 a ， b 的值 ) ．由于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，因此，根據(jù)相關(guān)幾何特征確定焦點(diǎn)的位置是很重要的，其次，在解題過程中應(yīng)熟悉 a ， b ， c ， e 等元素的幾何意義及它們之間的聯(lián)系，并注意方程思想的應(yīng)用． 2 ．若已知雙曲線的漸近線方程為 Ax 177。153x . 【答案】 ( 1 ) D ( 2 ) ( 2 2 ， 0) ， ( － 2 2 ， 0) y ＝ 177。bax ＝ 177。 3 ， 0) ，所以雙曲線的頂點(diǎn)為 (177。湖北高考 ) 已知 0 θ π4，則雙曲線 C 1 ：x2co s2θ－y2si n2θ＝ 1與 C2：y2si n2θ－x2si n2θ t a n2θ＝ 1 的 ( ) A ．實(shí)軸長相等 B ． 虛軸長相等 C ．焦距相等 D ． 離心率相等 ( 2
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