第2章-21-222雙曲線的幾何性質(zhì)-免費閱讀
【正文】 ， ∴ 直線 l 的方程為 y ＝ x － 2 ， 代入雙曲線方程，得 2 x2＋ 4 x － 7 ＝ 0. 設(shè) A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ， ∵ x11 時， Δ ＝ (2 k2)2－ 4 ( 1 － k2) 天水高二檢測 ) 已知雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的實軸長為 2 ，焦距為 4 ，則該雙曲線的漸近線方程是 ( ) A ． y ＝ 177。 ，求雙曲線的離心率． 【解】 設(shè) F1( c, 0) ，將 x ＝ c 代入雙曲線的方程得c2a2 －y2b2 ＝ 1 ，那么 y ＝ 177。53x ＝ 177。bax x≥a或 x≤－ a y≤－ a或 y≥a 坐標軸 原點 2a 2b e ＝ ca 且 e ＞ 1 y＝ 177。 3 ， 0) ，所以雙曲線的頂點為 (177。12 x ，且經(jīng)過點 A (2 ，－ 3) ，則雙曲線的標準方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) 由已知圓心坐標為 ( 5 , 0 ) ，即 c ＝ 5 ，又ca＝ 5 ， ∴a2＝ 5 ， b2＝ 20 ， ∴ 雙曲線的標準方程為x25－y220＝ 1. ( 2 ) 由雙曲線的漸近線方程為 y ＝ 177。 2 . 又 ∵ P 在雙曲線的左支上，故 a － b ＜ 0 ，則有 a － b ＝－ 2. 又 ∵ a2－ b2＝ 1 ，即 ( a － b )( a ＋ b ) ＝ 1 ， ∴ a ＋ b ＝－12. 1 ．通過雙曲線的方程可以討論雙曲線的幾何性質(zhì)，由雙曲線的幾何性質(zhì)也可以得到雙曲線的方程． 2 ．雙曲線的漸近線和離心率都可以描述其“ 張口 ” 的大小、漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，應(yīng)注意以下三點： ( 1 ) 當(dāng)焦點在 x 軸上時，漸近線為 y ＝ 177。bax ，即 y ＝ 177。1 或 k ＝ 177。 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2 ＝ 2 2 33時，方程 ( * ) 有兩個相同的實數(shù)解，即直線與雙曲線相交于一個公共點． 綜上所述：當(dāng)－2 33＜ k ＜2 33，且 k ≠ 177。 3 x D ． y ＝ 177。 2 . 又 ∵ a2－ b2＝ 1 ， ∴ ( a ＋ b )( a － b ) ＝ 1 ， ∴ a ＋ b ＝ 177。32x ； ( 3 ) 與雙曲線 x2－ 2 y2＝ 2 有公共漸近線，且過點 M (2 ，－ 2) ． 【思路探究】 ( 1 ) 雙曲線的焦點位置確定了嗎？如果不確定該怎么辦？ ( 2 ) 與雙曲線 x2－ 2 y2＝ 2 有公共漸近線的雙曲線有什么特點？如何設(shè)出方程？ 【自主解答】 ( 1 ) 設(shè)雙曲線的標準方程為 x2a2 －y2b2 ＝ 1 或y2a2 －x2b2 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) ． 由題意知 2 b ＝ 12 ，ca＝54且 c2＝ a2＋ b2， ∴ b ＝ 6 ， c ＝ 10 ， a ＝ 8 ， ∴ 雙曲線標準方程為x264－y236＝ 1 或y264－x236＝ 1. ( 2 ) 當(dāng)焦點在 x 軸上時，由ba＝32且 a ＝ 3 得 b ＝92. ∴ 所求雙曲線標準方程為x29－4 y281＝ 1. 當(dāng)焦點在 y 軸上時，由ab＝32且 a ＝ 3 得 b ＝ 2. ∴ 所求雙曲線標準方程為y29－x24＝ 1. ( 3 ) 設(shè)與雙曲線x22－ y2＝ 1 有公共漸近線的雙曲線方程為x22－ y2＝ k ，將點 (2 ，－ 2) 代入得 k ＝222－ ( － 2)2＝－ 2 ， ∴ 雙曲線標準方程為y2
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