第十章基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)_隨機(jī)微分方程-文庫(kù)吧資料
2025-01-22 23:11本頁(yè)面
【正文】 ? ?? kkk SSSVar ?tS tS首頁(yè) 四、均值調(diào)整過(guò)程 形式為： tttt dWSdtSdS ??? ??? )(若 比均值 小，則 ，這就使得 傾向于為正數(shù)，故 最終回復(fù)到均值 。 2tSt誤差項(xiàng)的方差與 是成比例的。 tS tttt dWSdtSdS ?? ??tS方差 2 121 )( ?? ?? kkk SSSVar ?即方差與 成正比的。 對(duì)大多數(shù)資產(chǎn)價(jià)格來(lái)說(shuō) ， 這種指數(shù)趨勢(shì)似乎更符合實(shí)際 。 tttt dWSdtSdS ?? ??tS變形 ttt dWdtSdS ?? ??即說(shuō)明主項(xiàng)與擴(kuò)展項(xiàng)對(duì)于 的相對(duì)變動(dòng)仍是一個(gè)不變的常數(shù)。 常系數(shù)的隨機(jī)微分方程描述的是資產(chǎn)價(jià)格圍繞線性趨勢(shì)進(jìn)行的一種波動(dòng)。 一、常系數(shù)線性隨機(jī)微分方程 形式為： tt dWdtdS ?? ??其中 是變量 t的標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程 tW隨機(jī)微分方程中，主系數(shù)及擴(kuò)展系數(shù)不隨時(shí)間的變動(dòng)而變化，即與信息集是不相關(guān)的。（簡(jiǎn)單） 首先，令 tWt ez ??其次，用伊藤定理 dtedWedz tt WtWt ?? ?? 221??再次，考慮相應(yīng)的積分方程 ?? ??? t Wt sWt dsedWezz ss 0 200 21 ?? ??最后，兩邊求均值 ]21[][][][0200 ????? t Wt sWt dseEdWeEzEzE ss ?? ??而 1][ 0 ?zE 0][ 0 ??tsW dWeE s??首頁(yè) 故 ??? t st dszEzE 0 2 ][211][ ?若記 tt xzE ?][則有 ??? t st dsxx 0 2211 ?所以 tt xdtdx 221 ??且 10 ?x故得 tt ex221 ??即 tt ezE221][ ??從而 ][ Tt SE ][)21(02TtTr zEeS ???首頁(yè) 即 ][ Tt SE]|[2221)21(0 tTTr IeEeS ????)( tTrt eS ?? )( tTrt eS ??所以 tS ][)( TttTr SEe ???][ )(21)21(022 tTWTr eeeS t ??? ??? ]|[)(2121)21(0222ttTtTr IeeEeS ??? ???]|[ )(2121)21(0222ttTtTr IeEeeS ?? ?? ???]|[][ )(21)21(022ttTtTr IeEzEeS ?? ?? ??首頁(yè) 特別 ][00 TrT SEeS ??即當(dāng)時(shí)間 t = 0時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格等于預(yù)期將來(lái)的價(jià)格用折現(xiàn)率 r來(lái)進(jìn)行折現(xiàn)。 st首頁(yè) 要證明結(jié)論成立，需先計(jì)算 ][ Tt SE由于 ][ Tt SE故 求 的方法： （ 兩種 ） TWTrT eSS?? ??? )21(02][)21(02TWtTr eEeS ????][ TWt e ?（ 1） TtTWWt dWWWfeeETT )|(][ ?????? ??其中 )|( tT WWf表示維納過(guò)程的條件密度函數(shù) 且條件均值為 w t ，方差為 tT ?利用維納過(guò)程的密度函數(shù)直接求。 因此，求得隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解為： tWtt eSS??? ??? )21(02首頁(yè) 要求隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解，應(yīng)考慮備選解法，即找出依賴于參數(shù)的函數(shù)，如 然后運(yùn)用伊藤定理來(lái)檢驗(yàn)這一備選項(xiàng)是否滿足隨機(jī)微分方程或相應(yīng)的積分方程。 ttuuWtdSS ?? ??1tdW因 00 ?W故 即隨機(jī)微分方程的任何解都必須滿足這一積分方程 下面用伊藤定理來(lái)解決這一方程。 tW首頁(yè) 四、隨機(jī)微分方程解的證明 看一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程： 即在對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)之中運(yùn)用的布萊克 ——休斯模型。 若誤差項(xiàng)
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